Cho biết chuỗi Maclaurin của ln(1 + x) là \[ \ln(1+x) = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k}, \quad \forall |x| < 1. \]. Hãy tìm chuỗi Maclaurin của hàm số G(x) = ln(1 + 5x + 6x²).

Câu hỏi yêu cầu giải bài toán giá trị đầu cho một phương trình vi phân tuyến tính cấp một. Bước đầu tiên là xác định dạng của phương trình vi phân. Phương trình đã cho là \(\frac{dy}{dt} + \frac{2ty}{t^2+1} = \frac{1}{t}\). Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng \(y' + P(t)y = Q(t)\), với \(P(t) = \frac{2t}{t^2+1}\) và \(Q(t) = \frac{1}{t}\).

Để giải phương trình này, ta cần tìm thừa số tích phân, ký hiệu là \(\mu(t)\). Thừa số tích phân được tính theo công thức \(\mu(t) = e^{\int P(t) dt}\).

Ta tính tích phân của \(P(t)\): \(\int P(t) dt = \int \frac{2t}{t^2+1} dt\). Đặt \(u = t^2+1\), suy ra \(du = 2t dt\). Vậy tích phân trở thành \(\int \frac{1}{u} du = \ln|u| = \ln(t^2+1)\) (vì \(t^2+1 > 0\)).

Do đó, thừa số tích phân là \(\mu(t) = e^{\ln(t^2+1)} = t^2+1\).

Nhân cả hai vế của phương trình vi phân với thừa số tích phân \(\mu(t)\): \((t^2+1)(\frac{dy}{dt} + \frac{2ty}{t^2+1}) = (t^2+1)(\frac{1}{t})\).

Vế trái của phương trình trở thành đạo hàm của tích \(\mu(t)y\): \(\frac{d}{dt}((t^2+1)y) = (t^2+1)\frac{dy}{dt} + 2ty\). Vậy phương trình trở thành \(\frac{d}{dt}((t^2+1)y) = \frac{t^2+1}{t}\).

Tiếp theo, ta tích phân cả hai vế theo \(t\): \(\int \frac{d}{dt}((t^2+1)y) dt = \int \frac{t^2+1}{t} dt\).

Vế trái là \((t^2+1)y\). Vế phải là \(\int (t + \frac{1}{t}) dt = \frac{t^2}{2} + \ln|t| + C\). Vì điều kiện ban đầu cho \(y(1)\), ta xét \(t > 0\), nên \(\ln|t| = \ln(t)\).

Vậy ta có nghiệm tổng quát: \((t^2+1)y = \frac{t^2}{2} + \ln(t) + C\).

Chia cho \(t^2+1\) để tìm \(y(t)\): \(y(t) = \frac{\frac{t^2}{2} + \ln(t) + C}{t^2+1}\).

Bây giờ, ta sử dụng điều kiện ban đầu \(y(1)=4\) để tìm hằng số \(C\). Thay \(t=1\) và \(y=4\) vào phương trình nghiệm tổng quát:

\(4 = \frac{\frac{1^2}{2} + \ln(1) + C}{1^2+1}\)

\(4 = \frac{\frac{1}{2} + 0 + C}{2}\)

\(4 \times 2 = \frac{1}{2} + C\)

\(8 = \frac{1}{2} + C\)

\(C = 8 - \frac{1}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}\).

Cuối cùng, thay giá trị của \(C\) vào phương trình nghiệm tổng quát để có nghiệm riêng của bài toán giá trị đầu:

\(y(t) = \frac{\frac{t^2}{2} + \ln(t) + \frac{15}{2}}{t^2+1}\)

Có thể viết lại tử số: \(\frac{t^2+15+2\ln(t)}{2}\).

Vậy nghiệm cuối cùng là: \(y(t) = \frac{t^2+15+2\ln(t)}{2(t^2+1)}\).

Câu hỏi yêu cầu tìm tham số m để hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong không gian Oxyz tạo với nhau một góc $\frac{\pi}{2}$. Hai vector vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Ta có $\vec{a} = (-m, m+1, -5)$ và $\vec{b} = (m+2, 1, 1-m)$. Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-m)(m+2) + (m+1)(1) + (-5)(1-m)$. Để hai vector vuông góc, ta cần $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Thực hiện phép nhân và rút gọn biểu thức: $-m^2 - 2m + m + 1 - 5 + 5m = 0$. Ta thu được phương trình bậc hai: $-m^2 + 4m - 4 = 0$. Nhân cả hai vế với -1, ta có $m^2 - 4m + 4 = 0$. Đây là hằng đẳng thức $(m-2)^2 = 0$. Nghiệm duy nhất của phương trình này là $m = 2$. Vậy, giá trị của tham số m để hai vector đã cho tạo với nhau góc $\frac{\pi}{2}$ là $m=2$.

Câu hỏi yêu cầu tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay miền giới hạn bởi đường cong y = e^x - 1 và đường thẳng y = (e - 1)x quanh trục Oy. Để giải bài toán này, ta cần xác định giao điểm của hai đường cong và sử dụng phương pháp tính thể tích vật thể tròn xoay theo phương pháp lát cắt hoặc phương pháp vỏ trụ. Tuy nhiên, vì ta quay quanh trục Oy, việc biểu diễn x theo y sẽ thuận tiện hơn.
Đầu tiên, tìm giao điểm của hai đường cong:
e^x - 1 = (e - 1)x.
Ta dễ thấy x = 0 là một giao điểm (e⁰ - 1 = 1 - 1 = 0 và (e - 1)*0 = 0).
Để tìm giao điểm còn lại, ta có thể nhận thấy rằng nếu đặt f(x) = e^x - 1 và g(x) = (e - 1)x, thì f'(x) = e^x và g'(x) = e - 1. Tại x = 1, f(1) = e - 1 và g(1) = e - 1, nên x = 1 cũng là một giao điểm. Vậy hai giao điểm là x = 0 và x = 1.
Khi quay quanh Oy, ta sử dụng công thức thể tích bằng phương pháp vỏ trụ: V = ∫_a^b 2πx * [f(x) - g(x)] dx, với f(x) là hàm trên và g(x) là hàm dưới trong miền xác định.
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu quay quanh trục Oy. Khi đó, ta nên đổi biến và tính theo y.
Từ y = e^x - 1, ta có x = ln(y + 1).
Từ y = (e - 1)x, ta có x = y / (e - 1).
Giới hạn của y: Khi x = 0, y = 0. Khi x = 1, y = e - 1. Vậy y chạy từ 0 đến e - 1.
Khi quay quanh trục Oy, ta sử dụng công thức thể tích bằng phương pháp đĩa hoặc vành khăn. Với phương pháp vành khăn, ta có thể tích phân theo y: V = ∫_c^d π * [R(y)² - r(y)²] dy. Ở đây, R(y) là bán kính ngoài và r(y) là bán kính trong. Ta cần xác định hàm nào cho x lớn hơn (bán kính ngoài) và hàm nào cho x nhỏ hơn (bán kính trong) trong khoảng y từ 0 đến e - 1.
Xét hai hàm x₁ = ln(y + 1) và x₂ = y / (e - 1).
Ta thấy tại y = e - 1, x₁ = ln(e) = 1 và x₂ = (e - 1) / (e - 1) = 1.
Tại y = 0, x₁ = ln(1) = 0 và x₂ = 0.
Trong khoảng (0, e - 1), ta có thể kiểm tra một điểm, ví dụ y = e - 1. Ta thấy x₁ = 1 và x₂ = 1.
Cần kiểm tra xem hàm nào cho x lớn hơn. Xét đạo hàm của hai hàm theo y:
dx₁/dy = 1/(y+1) và dx₂/dy = 1/(e-1).
Khi y = 0, dx₁/dy = 1 và dx₂/dy = 1/(e-1) < 1. Vậy ở lân cận y = 0, x₁ tăng nhanh hơn x₂.
Khi y = e - 1, dx₁/dy = 1/e và dx₂/dy = 1/(e-1). Ta có 1/e < 1/(e-1).
Có vẻ x₁ = ln(y + 1) nằm phía trên x₂ = y / (e - 1) trong khoảng (0, e - 1) khi tính theo trục y. Tức là x₁ > x₂.
Vậy bán kính ngoài R(y) = ln(y + 1) và bán kính trong r(y) = y / (e - 1).
Thể tích V = ∫₀^e-1 π * [ (ln(y + 1))² - (y / (e - 1))² ] dy.
Tuy nhiên, tính tích phân của (ln(y + 1))² không đơn giản.
Ta quay lại phương pháp vỏ trụ, tính tích phân theo x:
V = ∫₀¹ 2πx * [(e^x - 1) - (e - 1)x] dx
V = 2π ∫₀¹ [x(e^x - 1) - x(e - 1)x] dx
V = 2π ∫₀¹ [xe^x - x - (e - 1)x²] dx
Tính từng phần:
∫₀¹ xe^x dx: Sử dụng tích phân từng phần, đặt u = x, dv = e^x dx. Khi đó du = dx, v = e^x.
∫ xe^x dx = xe^x - ∫ e^x dx = xe^x - e^x.
Vậy ∫₀¹ xe^x dx = [xe^x - e^x]₀¹ = (1*e¹ - e¹) - (0*e⁰ - e⁰) = (e - e) - (0 - 1) = 1.
∫₀¹ x dx = [x²/2]₀¹ = 1/2.
∫₀¹ (e - 1)x² dx = (e - 1) ∫₀¹ x² dx = (e - 1) [x³/3]₀¹ = (e - 1)/3.
Vậy V = 2π * [1 - 1/2 - (e - 1)/3]
V = 2π * [1/2 - (e - 1)/3]
V = 2π * [(3 - 2(e - 1))/6]
V = 2π * [(3 - 2e + 2)/6]
V = 2π * [(5 - 2e)/6]
V = π(5 - 2e)/3.
Kiểm tra lại các bước. Có khả năng câu hỏi muốn ám chỉ phương pháp nào đó, nhưng phương pháp vỏ trụ là phù hợp nhất khi quay quanh Oy và tích phân theo x.
Tuy nhiên, nếu xét kỹ lại, hàm y = (e - 1)x là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Đường cong y = e^x - 1 cũng đi qua gốc tọa độ.
Trong khoảng x từ 0 đến 1, ta cần xác định hàm nào nằm trên.
Đặt h(x) = (e^x - 1) - (e - 1)x.
h'(x) = e^x - (e - 1).
Tại x = 0, h'(0) = 1 - (e - 1) = 2 - e < 0.
Tại x = 1, h'(1) = e - (e - 1) = 1 > 0.
Vậy h'(x) có nghiệm trong (0, 1).
Tuy nhiên, ta đã xác định giao điểm là 0 và 1. Ta cần so sánh giá trị của hai hàm trong khoảng (0, 1).
Xét tại x = 0.5:
y₁ = e^0.5 - 1 ≈ 1.6487 - 1 = 0.6487
y₂ = (e - 1) * 0.5 ≈ (2.71828 - 1) * 0.5 ≈ 1.71828 * 0.5 ≈ 0.85914
Như vậy, (e - 1)x > e^x - 1 trong khoảng (0, 1).
Do đó, ta phải lấy hàm trên trừ đi hàm dưới.
V = ∫₀¹ 2πx * [(e - 1)x - (e^x - 1)] dx
V = 2π ∫₀¹ [x(e - 1)x - x(e^x - 1)] dx
V = 2π ∫₀¹ [(e - 1)x² - xe^x + x] dx
V = 2π * [ ∫₀¹ (e - 1)x² dx - ∫₀¹ xe^x dx + ∫₀¹ x dx ]
Ta đã tính:
∫₀¹ (e - 1)x² dx = (e - 1)/3.
∫₀¹ xe^x dx = 1.
∫₀¹ x dx = 1/2.
Vậy V = 2π * [ (e - 1)/3 - 1 + 1/2 ]
V = 2π * [ (e - 1)/3 - 1/2 ]
V = 2π * [ (2(e - 1) - 3) / 6 ]
V = 2π * [ (2e - 2 - 3) / 6 ]
V = 2π * [ (2e - 5) / 6 ]
V = π(2e - 5)/3.
Do thể tích phải dương, ta cần xem xét lại hàm nào nằm trên.
Nếu x = 1, e¹ - 1 = e - 1 và (e - 1)*1 = e - 1.
Nếu x = 0, e⁰ - 1 = 0 và (e - 1)*0 = 0.
Ta đã thấy tại x = 0.5, (e - 1)x > e^x - 1.
Vậy, (e - 1)x là hàm nằm trên trong khoảng (0, 1).
Do đó, công thức V = π(2e - 5)/3 là đúng. Nếu 2e - 5 < 0, điều này có nghĩa là việc tính toán sai hoặc có vấn đề với câu hỏi.
2e ≈ 2 * 2.71828 = 5.43656.
2e - 5 ≈ 5.43656 - 5 = 0.43656 > 0.
Vậy thể tích là dương và bằng π(2e - 5)/3.

Câu hỏi yêu cầu tìm giao điểm và tính diện tích của hai đường cong trong hệ tọa độ cực.

Phần a: Tìm giao điểm
Để tìm giao điểm của hai đường cong r = 1 − sin(θ) và r = sin(θ), ta cho hai biểu thức của r bằng nhau:
1 − sin(θ) = sin(θ)
1 = 2sin(θ)
sin(θ) = 1/2
Trong khoảng [0, 2π), các giá trị của θ thỏa mãn điều kiện này là θ = π/6 và θ = 5π/6.
Khi θ = π/6, r = sin(π/6) = 1/2. Tọa độ cực là (1/2, π/6).
Khi θ = 5π/6, r = sin(5π/6) = 1/2. Tọa độ cực là (1/2, 5π/6).

Ngoài ra, cần xem xét trường hợp hai đường cong có thể giao nhau tại cực (r=0).
Đường cong r = 1 - sin(θ) có r = 0 khi sin(θ) = 1, tức là θ = π/2. Tuy nhiên, tại θ = π/2, r = sin(π/2) = 1 ≠ 0.
Đường cong r = sin(θ) có r = 0 khi sin(θ) = 0, tức là θ = 0 hoặc θ = π. Tại θ = 0 hoặc θ = π, r = 1 - sin(0) = 1 và r = 1 - sin(π) = 1, đều khác 0.

Ta cũng cần kiểm tra xem có trường hợp nào r của đường cong thứ nhất bằng r của đường cong thứ hai với θ khác nhau nhưng biểu diễn cùng một điểm hay không. Tuy nhiên, với dạng hàm số này và miền xác định của θ, các giao điểm tìm được ở trên là duy nhất.

Để biểu diễn theo hệ Oxy, ta sử dụng công thức x = r*cos(θ) và y = r*sin(θ).
Tại (1/2, π/6): x = (1/2)cos(π/6) = (1/2)(√3/2) = √3/4, y = (1/2)sin(π/6) = (1/2)(1/2) = 1/4. Tọa độ Oxy là (√3/4, 1/4).
Tại (1/2, 5π/6): x = (1/2)cos(5π/6) = (1/2)(-√3/2) = -√3/4, y = (1/2)sin(5π/6) = (1/2)(1/2) = 1/4. Tọa độ Oxy là (-√3/4, 1/4).

Phần b: Tính diện tích miền được tô nền xám
Miền tô xám là miền nằm bên trong đường tròn r = sin(θ) và bên ngoài đường cong r = 1 - sin(θ). Tuy nhiên, nhìn vào hình vẽ, miền tô xám nằm bên trong đường cong r = sin(θ) và đối xứng qua trục Oy. Do tính đối xứng của hình vẽ và công thức hàm số, ta có thể tính diện tích của một nửa miền rồi nhân đôi. Miền xám nằm hoàn toàn trong đường tròn r = sin(θ).

Tuy nhiên, cách giải thích ban đầu về miền tô xám cần điều chỉnh dựa trên hình vẽ. Miền tô xám được giới hạn bởi đường cong r = sin(θ) ở phía trên (phần nằm trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai) và đường cong r = 1 - sin(θ) ở phía dưới.

Để tính diện tích miền được tô nền xám, ta cần xác định miền tích phân. Nhìn vào hình vẽ, miền xám là phần nằm bên trong đường cong r = sin(θ) và bên ngoài đường cong r = 1 - sin(θ) trong một số khoảng của θ. Tuy nhiên, hình vẽ minh họa cho thấy miền tô xám là phần nằm bên trong đường r = sin(θ) trong khoảng [0, π] và có giới hạn dưới là trục hoành hoặc đường cong r = 1 - sin(θ).

Nếu xem xét kỹ hình vẽ, miền tô xám là phần diện tích của đường tròn r = sin(θ) nằm phía trên trục hoành (tức là khi y >= 0, tương ứng với 0 <= θ <= π) mà phần bên trong đường cong r = 1 - sin(θ) đã bị loại bỏ. Nhưng hình vẽ này khá khó diễn giải một cách chính xác. Giả sử miền tô xám là miền được tạo ra bởi đường cong r = sin(θ) trong khoảng [0, π] trừ đi phần diện tích chung với r = 1-sin(θ).

Một cách hiểu khác và có thể phù hợp hơn với hình vẽ là miền tô xám là phần diện tích của đường cong r = sin(θ) trong khoảng θ từ 0 đến π, nhưng chỉ lấy phần nằm phía trên đường cong r = 1 - sin(θ).

Tuy nhiên, nếu xét các giao điểm đã tìm ở phần a, thì miền tô xám có vẻ là phần diện tích của đường cong r = sin(θ) nằm trong khoảng mà nó 'bao' lấy đường cong r = 1 - sin(θ). Nhưng điều này không đúng.

Cách diễn giải phù hợp nhất với hình vẽ là miền xám là một phần của đường cong r = sin(θ). Cụ thể, miền xám là phần diện tích được tạo bởi đường cong r = sin(θ) cho các giá trị của θ từ 0 đến π, nhưng trừ đi phần diện tích tạo bởi đường cong r = 1 - sin(θ) trong khoảng tương ứng mà nó giao nhau.

Nếu ta hiểu miền xám là phần diện tích của đường tròn r = sin(θ) được giới hạn bởi các giao điểm đã tìm, tức là phần nằm giữa θ = π/6 và θ = 5π/6, và phía trên đường cong r = 1 - sin(θ), thì công thức tính diện tích trong hệ tọa độ cực là:
A = 1/2 * ∫[α, β] r^2 dθ

Miền xám rõ ràng nằm bên trong đường r = sin(θ). Đường cong r = 1 - sin(θ) là một đường hình tim. Miền xám nằm ở phần trên của hình tim và là một phần của đường tròn.

Dựa trên hình vẽ, miền xám là phần diện tích của đường cong r = sin(θ) cho θ chạy từ 0 đến π, nhưng phần dưới của nó được cắt bởi đường cong r = 1 - sin(θ). Do đó, ta cần tính diện tích của đường r = sin(θ) trong khoảng nào đó, và trừ đi diện tích của đường r = 1 - sin(θ) trong khoảng tương ứng.

Tuy nhiên, cách tính diện tích thông thường cho miền giữa hai đường cong là:
A = 1/2 * ∫[α, β] (r_ngoài^2 - r_trong^2) dθ

Nhìn hình vẽ, miền xám nằm bên trong đường cong r = sin(θ) và bên trên đường cong r = 1 − sin(θ).
Các giao điểm tìm được là tại θ = π/6 và θ = 5π/6.
Trong khoảng (π/6, 5π/6), ta có sin(θ) > 1/2 và 1 - sin(θ) < 1/2. Vậy r = sin(θ) là đường ngoài và r = 1 - sin(θ) là đường trong trong khoảng này.

Diện tích miền xám A sẽ là:
A = 1/2 * ∫[π/6, 5π/6] [ (sin(θ))^2 - (1 - sin(θ))^2 ] dθ
A = 1/2 * ∫[π/6, 5π/6] [ sin^2(θ) - (1 - 2sin(θ) + sin^2(θ)) ] dθ
A = 1/2 * ∫[π/6, 5π/6] [ sin^2(θ) - 1 + 2sin(θ) - sin^2(θ) ] dθ
A = 1/2 * ∫[π/6, 5π/6] [ 2sin(θ) - 1 ] dθ

Bây giờ ta tính tích phân:
∫ (2sin(θ) - 1) dθ = -2cos(θ) - θ

Áp dụng cận từ π/6 đến 5π/6:
[ -2cos(5π/6) - 5π/6 ] - [ -2cos(π/6) - π/6 ]
= [ -2(-√3/2) - 5π/6 ] - [ -2(√3/2) - π/6 ]
= [ √3 - 5π/6 ] - [ -√3 - π/6 ]
= √3 - 5π/6 + √3 + π/6
= 2√3 - 4π/6
= 2√3 - 2π/3

Vậy diện tích A là:
A = 1/2 * (2√3 - 2π/3)
A = √3 - π/3

Lưu ý: Cách giải thích này dựa trên việc diễn giải hình vẽ là miền nằm giữa hai đường cong tại các giao điểm của chúng. Nếu miền xám có ý nghĩa khác, đáp án sẽ thay đổi.

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân suy rộng $I = \int_{0}^{+\infty} x e^{1-x} \, dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần. Đây là một dạng tích phân suy rộng vì cận trên là vô cùng.

Các bước giải:

1. Áp dụng tích phân từng phần:
Công thức tích phân từng phần là $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Ta chọn:
* $u = x \implies du = dx$
* $dv = e^{1-x} \, dx \implies v = \int e^{1-x} \, dx = -e^{1-x}$

2. Áp dụng công thức:
$I = \left[ -x e^{1-x} \right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} (-e^{1-x}) \, dx$
$I = \left[ -x e^{1-x} \right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{1-x} \, dx$

3. Tính giới hạn của số hạng $uv$:
Ta cần tính $\lim_{x \to +\infty} (-x e^{1-x})$.
Đặt $y = x-1$, khi $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$. Biểu thức trở thành $\lim_{y \to +\infty} -(y+1) e^{-y} = \lim_{y \to +\infty} \frac{-(y+1)}{e^y}$.
Đây là dạng vô định $\frac{-\infty}{\infty}$, ta dùng quy tắc L'Hôpital:
$\lim_{y \to +\infty} \frac{-1}{e^y} = 0$.
Tại cận dưới $x=0$, ta có $-0 \cdot e^{1-0} = 0$.
Vậy, $\left[ -x e^{1-x} \right]_0^{+\infty} = 0 - 0 = 0$.

4. Tính tích phân còn lại:
$\int_0^{+\infty} e^{1-x} \, dx = \left[ -e^{1-x} \right]_0^{+\infty}$
Tính giới hạn tại cận trên: $\lim_{x \to +\infty} (-e^{1-x}) = 0$.
Tính giá trị tại cận dưới: $-e^{1-0} = -e^1 = -e$.
Vậy, $\left[ -e^{1-x} \right]_0^{+\infty} = 0 - (-e) = e$.

5. Kết quả cuối cùng:
$I = 0 + e = e$.

Do đó, đáp án đúng là $e$.