Tính giá trị của chuỗi hình học sau (nếu hội tụ) \[ S = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) + (3 - 2\sqrt{2}) + (5\sqrt{2} - 7) + \ldots \]

Để xét sự hội tụ của chuỗi số \[ Q = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3k + 5}{k \, 2^k} \], chúng ta có thể sử dụng tiêu chuẩn Cauchy về giới hạn tỷ số hoặc tiêu chuẩn D'Alembert. Tuy nhiên, trước hết, ta cần xem xét lại đề bài. Với k=0, số hạng của chuỗi là \(\frac{3(0) + 5}{0 \cdot 2^0} = \frac{5}{0}\), là một biểu thức không xác định. Điều này cho thấy đề bài có thể có lỗi đánh máy. Giả sử rằng chỉ số bắt đầu của tổng là k=1 thay vì k=0, khi đó chuỗi sẽ là \[ Q = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3k + 5}{k \, 2^k} \]. Với giả định này, ta sẽ tiến hành xét sự hội tụ:

Đặt \(a_k = \frac{3k + 5}{k \, 2^k}\).

Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert.
Tính giới hạn của tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp:
\( L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \)

\(a_{k+1} = \frac{3(k+1) + 5}{(k+1) \, 2^{k+1}} = \frac{3k + 3 + 5}{(k+1) \, 2^{k+1}} = \frac{3k + 8}{(k+1) \, 2^{k+1}}\)

\(\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{3k + 8}{(k+1) \, 2^{k+1}}}{\frac{3k + 5}{k \, 2^k}} = \frac{3k + 8}{(k+1) \, 2^{k+1}} \cdot \frac{k \, 2^k}{3k + 5} = \frac{(3k + 8) \, k}{(k+1) \, (3k + 5) \, 2}\)

\[ L = \lim_{k \to \infty} \frac{3k^2 + 8k}{2 \, (k+1)(3k+5)} = \lim_{k \to \infty} \frac{3k^2 + 8k}{2 \, (3k^2 + 5k + 3k + 5)} = \lim_{k \to \infty} \frac{3k^2 + 8k}{2 \, (3k^2 + 8k + 5)} \]

Chia cả tử và mẫu cho \(k^2\):

\[ L = \lim_{k \to \infty} \frac{3 + \frac{8}{k}}{2 \, (3 + \frac{8}{k} + \frac{5}{k^2})} = \frac{3 + 0}{2 \, (3 + 0 + 0)} = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Vì \(L = \frac{1}{2} < 1\), theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi số đã cho là hội tụ (với giả định k bắt đầu từ 1).

Câu hỏi yêu cầu tìm chuỗi Maclaurin của hàm số G(x) = ln(1 + 5x + 6x^2) dựa trên chuỗi Maclaurin đã cho của hàm ln(1 + x). Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Phân tích biểu thức G(x): Biểu thức bên trong hàm logarit là một tam thức bậc hai: 1 + 5x + 6x^2. Ta có thể phân tích tam thức này thành nhân tử. Tìm hai số có tích bằng 6 và tổng bằng 5. Hai số đó là 2 và 3. Do đó, 1 + 5x + 6x^2 = (1 + 2x)(1 + 3x).

2. Áp dụng tính chất của logarit: Ta có thể viết lại G(x) như sau: G(x) = ln((1 + 2x)(1 + 3x)) = ln(1 + 2x) + ln(1 + 3x).

3. Sử dụng chuỗi Maclaurin đã cho: Chuỗi Maclaurin của ln(1 + u) là $\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} \frac{u^k}{k}$ với |u| < 1.
* Đối với ln(1 + 2x), ta thay u = 2x vào chuỗi: ln(1 + 2x) = $\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} \frac{(2x)^k}{k} = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} \frac{2^k x^k}{k}$. Chuỗi này hội tụ khi |2x| < 1, tức là |x| < 1/2.
* Đối với ln(1 + 3x), ta thay u = 3x vào chuỗi: ln(1 + 3x) = $\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} \frac{(3x)^k}{k} = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} \frac{3^k x^k}{k}$. Chuỗi này hội tụ khi |3x| < 1, tức là |x| < 1/3.

4. Cộng hai chuỗi lại: G(x) = ln(1 + 2x) + ln(1 + 3x) = $\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} \frac{2^k x^k}{k} + \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} \frac{3^k x^k}{k}$.
Vì cả hai chuỗi đều hội tụ khi |x| < 1/3 (là điều kiện chặt hơn của |x| < 1/2 và |x| < 1/3), ta có thể cộng chúng lại theo từng số hạng:
G(x) = $\sum_{k=1}^{+\infty} \left( (-1)^{k-1} \frac{2^k x^k}{k} + (-1)^{k-1} \frac{3^k x^k}{k} \right)$
G(x) = $\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} \frac{2^k + 3^k}{k} x^k$.

Do đó, chuỗi Maclaurin của G(x) là $\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-1} \frac{2^k + 3^k}{k} x^k$ với |x| < 1/3.

Trong trường hợp này, không có các đáp án để lựa chọn (quest_type = 2), vì vậy chúng ta chỉ cung cấp lời giải chi tiết. Nếu có các lựa chọn, ta sẽ xác định đáp án nào trùng khớp với chuỗi tìm được.

Câu hỏi yêu cầu giải bài toán giá trị đầu cho một phương trình vi phân tuyến tính cấp một. Bước đầu tiên là xác định dạng của phương trình vi phân. Phương trình đã cho là \(\frac{dy}{dt} + \frac{2ty}{t^2+1} = \frac{1}{t}\). Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng \(y' + P(t)y = Q(t)\), với \(P(t) = \frac{2t}{t^2+1}\) và \(Q(t) = \frac{1}{t}\).

Để giải phương trình này, ta cần tìm thừa số tích phân, ký hiệu là \(\mu(t)\). Thừa số tích phân được tính theo công thức \(\mu(t) = e^{\int P(t) dt}\).

Ta tính tích phân của \(P(t)\): \(\int P(t) dt = \int \frac{2t}{t^2+1} dt\). Đặt \(u = t^2+1\), suy ra \(du = 2t dt\). Vậy tích phân trở thành \(\int \frac{1}{u} du = \ln|u| = \ln(t^2+1)\) (vì \(t^2+1 > 0\)).

Do đó, thừa số tích phân là \(\mu(t) = e^{\ln(t^2+1)} = t^2+1\).

Nhân cả hai vế của phương trình vi phân với thừa số tích phân \(\mu(t)\): \((t^2+1)(\frac{dy}{dt} + \frac{2ty}{t^2+1}) = (t^2+1)(\frac{1}{t})\).

Vế trái của phương trình trở thành đạo hàm của tích \(\mu(t)y\): \(\frac{d}{dt}((t^2+1)y) = (t^2+1)\frac{dy}{dt} + 2ty\). Vậy phương trình trở thành \(\frac{d}{dt}((t^2+1)y) = \frac{t^2+1}{t}\).

Tiếp theo, ta tích phân cả hai vế theo \(t\): \(\int \frac{d}{dt}((t^2+1)y) dt = \int \frac{t^2+1}{t} dt\).

Vế trái là \((t^2+1)y\). Vế phải là \(\int (t + \frac{1}{t}) dt = \frac{t^2}{2} + \ln|t| + C\). Vì điều kiện ban đầu cho \(y(1)\), ta xét \(t > 0\), nên \(\ln|t| = \ln(t)\).

Vậy ta có nghiệm tổng quát: \((t^2+1)y = \frac{t^2}{2} + \ln(t) + C\).

Chia cho \(t^2+1\) để tìm \(y(t)\): \(y(t) = \frac{\frac{t^2}{2} + \ln(t) + C}{t^2+1}\).

Bây giờ, ta sử dụng điều kiện ban đầu \(y(1)=4\) để tìm hằng số \(C\). Thay \(t=1\) và \(y=4\) vào phương trình nghiệm tổng quát:

\(4 = \frac{\frac{1^2}{2} + \ln(1) + C}{1^2+1}\)

\(4 = \frac{\frac{1}{2} + 0 + C}{2}\)

\(4 \times 2 = \frac{1}{2} + C\)

\(8 = \frac{1}{2} + C\)

\(C = 8 - \frac{1}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}\).

Cuối cùng, thay giá trị của \(C\) vào phương trình nghiệm tổng quát để có nghiệm riêng của bài toán giá trị đầu:

\(y(t) = \frac{\frac{t^2}{2} + \ln(t) + \frac{15}{2}}{t^2+1}\)

Có thể viết lại tử số: \(\frac{t^2+15+2\ln(t)}{2}\).

Vậy nghiệm cuối cùng là: \(y(t) = \frac{t^2+15+2\ln(t)}{2(t^2+1)}\).

Câu hỏi yêu cầu tìm tham số m để hai vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong không gian Oxyz tạo với nhau một góc $\frac{\pi}{2}$. Hai vector vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Ta có $\vec{a} = (-m, m+1, -5)$ và $\vec{b} = (m+2, 1, 1-m)$. Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-m)(m+2) + (m+1)(1) + (-5)(1-m)$. Để hai vector vuông góc, ta cần $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Thực hiện phép nhân và rút gọn biểu thức: $-m^2 - 2m + m + 1 - 5 + 5m = 0$. Ta thu được phương trình bậc hai: $-m^2 + 4m - 4 = 0$. Nhân cả hai vế với -1, ta có $m^2 - 4m + 4 = 0$. Đây là hằng đẳng thức $(m-2)^2 = 0$. Nghiệm duy nhất của phương trình này là $m = 2$. Vậy, giá trị của tham số m để hai vector đã cho tạo với nhau góc $\frac{\pi}{2}$ là $m=2$.

Câu hỏi yêu cầu tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay miền giới hạn bởi đường cong y = e^x - 1 và đường thẳng y = (e - 1)x quanh trục Oy. Để giải bài toán này, ta cần xác định giao điểm của hai đường cong và sử dụng phương pháp tính thể tích vật thể tròn xoay theo phương pháp lát cắt hoặc phương pháp vỏ trụ. Tuy nhiên, vì ta quay quanh trục Oy, việc biểu diễn x theo y sẽ thuận tiện hơn.
Đầu tiên, tìm giao điểm của hai đường cong:
e^x - 1 = (e - 1)x.
Ta dễ thấy x = 0 là một giao điểm (e⁰ - 1 = 1 - 1 = 0 và (e - 1)*0 = 0).
Để tìm giao điểm còn lại, ta có thể nhận thấy rằng nếu đặt f(x) = e^x - 1 và g(x) = (e - 1)x, thì f'(x) = e^x và g'(x) = e - 1. Tại x = 1, f(1) = e - 1 và g(1) = e - 1, nên x = 1 cũng là một giao điểm. Vậy hai giao điểm là x = 0 và x = 1.
Khi quay quanh Oy, ta sử dụng công thức thể tích bằng phương pháp vỏ trụ: V = ∫_a^b 2πx * [f(x) - g(x)] dx, với f(x) là hàm trên và g(x) là hàm dưới trong miền xác định.
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu quay quanh trục Oy. Khi đó, ta nên đổi biến và tính theo y.
Từ y = e^x - 1, ta có x = ln(y + 1).
Từ y = (e - 1)x, ta có x = y / (e - 1).
Giới hạn của y: Khi x = 0, y = 0. Khi x = 1, y = e - 1. Vậy y chạy từ 0 đến e - 1.
Khi quay quanh trục Oy, ta sử dụng công thức thể tích bằng phương pháp đĩa hoặc vành khăn. Với phương pháp vành khăn, ta có thể tích phân theo y: V = ∫_c^d π * [R(y)² - r(y)²] dy. Ở đây, R(y) là bán kính ngoài và r(y) là bán kính trong. Ta cần xác định hàm nào cho x lớn hơn (bán kính ngoài) và hàm nào cho x nhỏ hơn (bán kính trong) trong khoảng y từ 0 đến e - 1.
Xét hai hàm x₁ = ln(y + 1) và x₂ = y / (e - 1).
Ta thấy tại y = e - 1, x₁ = ln(e) = 1 và x₂ = (e - 1) / (e - 1) = 1.
Tại y = 0, x₁ = ln(1) = 0 và x₂ = 0.
Trong khoảng (0, e - 1), ta có thể kiểm tra một điểm, ví dụ y = e - 1. Ta thấy x₁ = 1 và x₂ = 1.
Cần kiểm tra xem hàm nào cho x lớn hơn. Xét đạo hàm của hai hàm theo y:
dx₁/dy = 1/(y+1) và dx₂/dy = 1/(e-1).
Khi y = 0, dx₁/dy = 1 và dx₂/dy = 1/(e-1) < 1. Vậy ở lân cận y = 0, x₁ tăng nhanh hơn x₂.
Khi y = e - 1, dx₁/dy = 1/e và dx₂/dy = 1/(e-1). Ta có 1/e < 1/(e-1).
Có vẻ x₁ = ln(y + 1) nằm phía trên x₂ = y / (e - 1) trong khoảng (0, e - 1) khi tính theo trục y. Tức là x₁ > x₂.
Vậy bán kính ngoài R(y) = ln(y + 1) và bán kính trong r(y) = y / (e - 1).
Thể tích V = ∫₀^e-1 π * [ (ln(y + 1))² - (y / (e - 1))² ] dy.
Tuy nhiên, tính tích phân của (ln(y + 1))² không đơn giản.
Ta quay lại phương pháp vỏ trụ, tính tích phân theo x:
V = ∫₀¹ 2πx * [(e^x - 1) - (e - 1)x] dx
V = 2π ∫₀¹ [x(e^x - 1) - x(e - 1)x] dx
V = 2π ∫₀¹ [xe^x - x - (e - 1)x²] dx
Tính từng phần:
∫₀¹ xe^x dx: Sử dụng tích phân từng phần, đặt u = x, dv = e^x dx. Khi đó du = dx, v = e^x.
∫ xe^x dx = xe^x - ∫ e^x dx = xe^x - e^x.
Vậy ∫₀¹ xe^x dx = [xe^x - e^x]₀¹ = (1*e¹ - e¹) - (0*e⁰ - e⁰) = (e - e) - (0 - 1) = 1.
∫₀¹ x dx = [x²/2]₀¹ = 1/2.
∫₀¹ (e - 1)x² dx = (e - 1) ∫₀¹ x² dx = (e - 1) [x³/3]₀¹ = (e - 1)/3.
Vậy V = 2π * [1 - 1/2 - (e - 1)/3]
V = 2π * [1/2 - (e - 1)/3]
V = 2π * [(3 - 2(e - 1))/6]
V = 2π * [(3 - 2e + 2)/6]
V = 2π * [(5 - 2e)/6]
V = π(5 - 2e)/3.
Kiểm tra lại các bước. Có khả năng câu hỏi muốn ám chỉ phương pháp nào đó, nhưng phương pháp vỏ trụ là phù hợp nhất khi quay quanh Oy và tích phân theo x.
Tuy nhiên, nếu xét kỹ lại, hàm y = (e - 1)x là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Đường cong y = e^x - 1 cũng đi qua gốc tọa độ.
Trong khoảng x từ 0 đến 1, ta cần xác định hàm nào nằm trên.
Đặt h(x) = (e^x - 1) - (e - 1)x.
h'(x) = e^x - (e - 1).
Tại x = 0, h'(0) = 1 - (e - 1) = 2 - e < 0.
Tại x = 1, h'(1) = e - (e - 1) = 1 > 0.
Vậy h'(x) có nghiệm trong (0, 1).
Tuy nhiên, ta đã xác định giao điểm là 0 và 1. Ta cần so sánh giá trị của hai hàm trong khoảng (0, 1).
Xét tại x = 0.5:
y₁ = e^0.5 - 1 ≈ 1.6487 - 1 = 0.6487
y₂ = (e - 1) * 0.5 ≈ (2.71828 - 1) * 0.5 ≈ 1.71828 * 0.5 ≈ 0.85914
Như vậy, (e - 1)x > e^x - 1 trong khoảng (0, 1).
Do đó, ta phải lấy hàm trên trừ đi hàm dưới.
V = ∫₀¹ 2πx * [(e - 1)x - (e^x - 1)] dx
V = 2π ∫₀¹ [x(e - 1)x - x(e^x - 1)] dx
V = 2π ∫₀¹ [(e - 1)x² - xe^x + x] dx
V = 2π * [ ∫₀¹ (e - 1)x² dx - ∫₀¹ xe^x dx + ∫₀¹ x dx ]
Ta đã tính:
∫₀¹ (e - 1)x² dx = (e - 1)/3.
∫₀¹ xe^x dx = 1.
∫₀¹ x dx = 1/2.
Vậy V = 2π * [ (e - 1)/3 - 1 + 1/2 ]
V = 2π * [ (e - 1)/3 - 1/2 ]
V = 2π * [ (2(e - 1) - 3) / 6 ]
V = 2π * [ (2e - 2 - 3) / 6 ]
V = 2π * [ (2e - 5) / 6 ]
V = π(2e - 5)/3.
Do thể tích phải dương, ta cần xem xét lại hàm nào nằm trên.
Nếu x = 1, e¹ - 1 = e - 1 và (e - 1)*1 = e - 1.
Nếu x = 0, e⁰ - 1 = 0 và (e - 1)*0 = 0.
Ta đã thấy tại x = 0.5, (e - 1)x > e^x - 1.
Vậy, (e - 1)x là hàm nằm trên trong khoảng (0, 1).
Do đó, công thức V = π(2e - 5)/3 là đúng. Nếu 2e - 5 < 0, điều này có nghĩa là việc tính toán sai hoặc có vấn đề với câu hỏi.
2e ≈ 2 * 2.71828 = 5.43656.
2e - 5 ≈ 5.43656 - 5 = 0.43656 > 0.
Vậy thể tích là dương và bằng π(2e - 5)/3.