Tính $A= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 0&1&0&4\\ 0&2&0&1\\ 3&1&a&b \end{array}} \right|$

Ta có: $$I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right|$$ Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng: dòng 3 trừ dòng 2 và dòng 1 nhân a, ta được: $$I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ b&c&a \end{array}} \right|$$ Tiếp tục sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên cột: cột 2 trừ cột 1, cột 3 trừ cột 1, ta được: $$I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ a&{b - a}&{c - a}\\ b&{c - b}&{a - b} \end{array}} \right| = 1.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {b - a}&{c - a}\\ {c - b}&{a - b} \end{array}} \right|$$ $$= (b - a)(a - b) - (c - a)(c - b) = ab - b^2 - a^2 + ab - (c^2 - bc - ac + ab) = 2ab - a^2 - b^2 - c^2 + bc + ac - ab$$ $$= ab - a^2 - b^2 - c^2 + bc + ac$$ Hoán đổi dòng 2 và dòng 3: $$I = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ b&c&a\\ a&b&c \end{array}} \right|$$ Thực hiện C2 - C1, C3 - C1: $$I = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ b&{c - b}&{a - b}\\ a&{b - a}&{c - a} \end{array}} \right| = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {c - b}&{a - b}\\ {b - a}&{c - a} \end{array}} \right| = -[(c-b)(c-a) - (a-b)(a-b)] = -[c^2 - ac - bc + ab - (a^2 - 2ab + b^2)] = -c^2 + ac + bc - ab + a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + b^2 - c^2 + ac + bc - 3ab$$ Nếu b+a = c+a = a+b => a=b=c => I = 0 Nhận xét: Nếu ta trừ dòng 3 cho dòng 2, ta được dòng 3 là (b-c, c-b, a-c). Do đó, định thức này sẽ bằng 0 nếu dòng 2 và dòng 3 tỉ lệ, tức là a=b=c. Tuy nhiên, ta cần chứng minh điều này tổng quát hơn. Thực hiện phép biến đổi dòng 3 = dòng 3 - dòng 1 * (a+b+c): $$I=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + a - (a+b+c)}&{c + a - (a+b+c)}&{a + b - (a+b+c)} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {-c}&{-b}&{-c} \end{array}} \right|$$ Biến đổi sai. Ta có dòng 3 = dòng 1 * a + dòng 2, nên dòng 3 = dòng 1 * b + dòng 2, nên dòng 3 = dòng 1 * c + dòng 2. Điều này không đúng. Thực hiện phép biến đổi C3 -> C3 - C2, C2 -> C2 - C1, ta có: $$I = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ a&{b-a}&{c-b}\\ {b + a}&{c-b}&{a-c} \end{array}} \right| = (b-a)(a-c) - (c-b)^2 = ab - ac - a^2 + ac - (c^2 -2bc +b^2) = ab - a^2 - c^2 + 2bc - b^2$$ Nếu I=0, thì ab - a^2 - c^2 + 2bc - b^2 = 0 Đáp án đúng là I = 0

Ma trận A có kích thước 2x2, ma trận B có kích thước 3x2. 1. **Tính AB:** Tích AB có thể thực hiện được và có kích thước 2x2. Ta có: $AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&0 \end{array}} \right) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&2\\ 0&3 \end{array}} \right)$. Tuy nhiên, phép nhân này không hợp lệ vì số cột của A (2) không bằng số hàng của B (3). Như vậy, AB không xác định. 2. **Tính BA:** Tích BA không thể thực hiện được vì số cột của B (2) khác số hàng của A (2). Vậy BA xác định là sai. Vì AB không xác định, BA cũng không xác định thì các phương án 1, 2, 3 đều sai

Để tìm giá trị của k sao cho r(A) \ge 3, ta cần xét định thức của các ma trận con cấp 3 của A. Vì A là ma trận vuông cấp 4, r(A) là hạng của A. r(A) \ge 3 có nghĩa là có ít nhất một định thức con cấp 3 khác 0. Ta tính định thức của A: det(A) = 1 * (3 * (5*(k^2 + 2) - 4*6) - 0 + 0) - 0 + 0 + 3 * (2*(-2*4 - 5*(k+1)) - 3*(4*4 - 5*(-1))) = 3 * (5k^2 + 10 - 24) + 3 * (2*(-8 - 5k - 5) - 3*(16 + 5)) = 3*(5k^2 - 14) + 3*(2*(-13-5k) - 3*21) = 15k^2 - 42 + 3*(-26 - 10k - 63) = 15k^2 - 42 - 30k - 267 = 15k^2 - 30k - 309. Để r(A) < 4, det(A) phải bằng 0. Nếu det(A) != 0 thì r(A) = 4, suy ra r(A) >= 3. Nếu det(A) = 0 thì cần xét thêm các định thức con cấp 3. Tuy nhiên, nếu ta chọn một giá trị k sao cho một định thức con cấp 3 khác 0, thì r(A) >= 3. Xét định thức con tạo bởi 3 hàng đầu và 3 cột đầu: | 1 0 0; 2 3 0; 4 -2 5 | = 1*(3*5 - 0) = 15 != 0. Vậy với mọi k, tồn tại một định thức con cấp 3 khác 0, suy ra r(A) >= 3. Vậy đáp án đúng là mọi giá trị của K.

Để A khả nghịch thì det(A) phải khác 0. Ta có: $A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 3&{ - 1}&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2\\ 2&3&m\\ 3&0&{m + 1} \end{array}} \right)$ Tính định thức của ma trận thứ nhất: $\begin{vmatrix} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 3&{ - 1}&4 \end{vmatrix} = 1(16+2) - 2(8-6) + 1(-2-12) = 18 - 4 - 14 = 0$ Vậy det(A) = 0 với mọi m. Do đó A không khả nghịch với mọi giá trị của m.