Khảo sát đồng thời thu nhập trong 1 tháng X (đơn vị: triệu đồng) và chi tiêu trong 1 tháng Y (đơn vị: triệu đồng) của một số hộ gia đình ở vùng A, ta thu được bảng số liệu ghép cặp, từ đó suy ra số tiền dư được trong 1 tháng D như sau:

X	40	42	35	45	31	58	22	47	59	50
Y	37	38	30	40	25	54	19	41	47	45
D = X - Y	3	4	5	5	6	4	3	6	12	5

Giả sử rằng X, Y có phân phối chuẩn.

a. Tìm khoảng tin cậy 95% cho số tiền dư trung bình trong 1 tháng của mỗi hộ gia đình ở vùng A.

b. Với mức ý nghĩa 2%, hãy kiểm định ý kiến cho rằng trung bình trong 1 tháng mỗi hộ gia đình ở vùng A tiết kiệm được 4 triệu đồng.

c. Với dữ liệu ghép cặp của hai biến ngẫu nhiên (X, Y) đã cho, có thể dự đoán được mức chi tiêu trung bình của một hộ gia đình ở vùng A khi biết thu nhập của hộ đó bằng hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm được hay không? Nếu có hãy dự đoán mức chi tiêu trung bình của một hộ có thu nhập là 65 triệu đồng 1 tháng.

Chú ý: Một số giá trị z_α/2, t_(α,9)

α	0.005	0.01	0.015	0.02	0.025	0.03	0.035	0.04	0.045	0.05
zα	2.576	2.326	2.170	2.054	1.960	1.881	1.812	1.751	1.695	1.645
t(α,9)	3.250	2.821	2.574	2.398	2.262	2.150	2.055	1.973	1.899	1.833

Câu hỏi yêu cầu tính xác suất để lấy được ít nhất một sản phẩm hư khi lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một sản phẩm. Mỗi hộp có số sản phẩm khác nhau và trong mỗi hộp có đúng 1 sản phẩm hư.

Bước 1: Xác định không gian mẫu.
- Hộp 1 có 5 sản phẩm, 1 hư, 4 tốt. Số cách lấy 1 sản phẩm từ hộp 1 là 5.
- Hộp 2 có 6 sản phẩm, 1 hư, 5 tốt. Số cách lấy 1 sản phẩm từ hộp 2 là 6.
- Hộp 3 có 7 sản phẩm, 1 hư, 6 tốt. Số cách lấy 1 sản phẩm từ hộp 3 là 7.
Tổng số cách lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ mỗi hộp là: $5 \times 6 \times 7 = 210$ cách. Đây là kích thước của không gian mẫu.

Bước 2: Tính xác suất của biến cố đối.
Biến cố đối của "lấy ra ít nhất 1 sản phẩm hư" là "không lấy ra sản phẩm hư nào" (tức là cả 3 sản phẩm lấy ra đều tốt).
- Số cách lấy 1 sản phẩm tốt từ hộp 1 là 4.
- Số cách lấy 1 sản phẩm tốt từ hộp 2 là 5.
- Số cách lấy 1 sản phẩm tốt từ hộp 3 là 6.
Số cách lấy cả 3 sản phẩm đều tốt là: $4 \times 5 \times 6 = 120$ cách.

Bước 3: Tính xác suất của biến cố đối.
Xác suất để cả 3 sản phẩm lấy ra đều tốt là: $P( ext{cả 3 tốt}) = \frac{\text{Số cách lấy cả 3 tốt}}{\text{Tổng số cách lấy}} = \frac{120}{210} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.

Bước 4: Tính xác suất của biến cố chính.
Xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm hư là: $P( ext{ít nhất 1 hư}) = 1 - P( ext{cả 3 tốt}) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$.

Do đó, xác suất trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm hư là 3/7.

Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là về bài toán liên quan đến các biến cố độc lập và kỳ vọng của biến ngẫu nhiên.

Bước 1: Tìm p.
Gọi X1, X2, X3 lần lượt là các biến cố máy 1, 2, 3 bị hỏng trong khoảng thời gian t. Ta có: P(X1) = p, P(X2) = 0.1, P(X3) = 0.2.
Gọi N là số máy bị hỏng trong khoảng thời gian t. N là biến ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3.
Vì các máy hoạt động độc lập, ta có thể tính xác suất để mỗi máy bị hỏng hoặc không bị hỏng:
- Máy 1: P(X1) = p, P(không X1) = 1-p
- Máy 2: P(X2) = 0.1, P(không X2) = 0.9
- Máy 3: P(X3) = 0.2, P(không X3) = 0.8

Số máy bị hỏng trung bình trong khoảng thời gian t chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên N, ký hiệu là E[N].
E[N] có thể được tính bằng tổng kỳ vọng của từng máy bị hỏng. Do các máy hoạt động độc lập, kỳ vọng của tổng bằng tổng các kỳ vọng.
Kỳ vọng của việc một máy bị hỏng (với xác suất p) là 1 * p + 0 * (1-p) = p.
Vậy, E[N] = E[N1] + E[N2] + E[N3] = P(X1) + P(X2) + P(X3) = p + 0.1 + 0.2.
Theo đề bài, E[N] = 0.4.
Ta có phương trình: p + 0.1 + 0.2 = 0.4 => p + 0.3 = 0.4 => p = 0.1.
Vậy, xác suất máy 1 bị hỏng là 0.1.

Bước 2: Tính xác suất có đúng một máy bị hỏng trong khoảng thời gian t, biết đã có 1 máy bị hỏng trong khoảng thời gian này.

Gọi A là biến cố có đúng một máy bị hỏng trong khoảng thời gian t.
Các trường hợp có đúng một máy bị hỏng là:
- Chỉ máy 1 hỏng: P(X1 và không X2 và không X3) = P(X1) * P(không X2) * P(không X3) = 0.1 * 0.9 * 0.8 = 0.072
- Chỉ máy 2 hỏng: P(không X1 và X2 và không X3) = P(không X1) * P(X2) * P(không X3) = 0.9 * 0.1 * 0.8 = 0.072
- Chỉ máy 3 hỏng: P(không X1 và không X2 và X3) = P(không X1) * P(không X2) * P(X3) = 0.9 * 0.9 * 0.2 = 0.162

Vậy, xác suất có đúng một máy bị hỏng là P(A) = 0.072 + 0.072 + 0.162 = 0.306.

Gọi B là biến cố có ít nhất một máy bị hỏng trong khoảng thời gian t. Tuy nhiên, đề bài cho "biết đã có 1 máy bị hỏng", đây là một thông tin đã xảy ra. Do đó, ta cần hiểu "biết đã có 1 máy bị hỏng" ở đây có nghĩa là ta đang xét trong điều kiện là số máy bị hỏng là chính xác 1. Hay nói cách khác, ta cần tính xác suất của biến cố A, với điều kiện là N=1.

Nếu đề bài muốn hỏi "xác suất có đúng một máy bị hỏng biết rằng có ít nhất một máy bị hỏng", thì cách giải sẽ khác.

Tuy nhiên, dựa trên cách diễn đạt "tính xác suất có đúng một máy bị hỏng trong khoảng thời gian t biết đã có 1 máy bị hỏng trong khoảng thời gian này", ta hiểu là ta đang tính xác suất của trường hợp "đúng một máy bị hỏng" trong tập các trường hợp "có 1 máy bị hỏng". Trong trường hợp này, biến cố "có đúng một máy bị hỏng" chính là biến cố đang được xét.

Chúng ta cần tính xác suất P(A | C), trong đó A là biến cố có đúng một máy bị hỏng, và C là biến cố đã có 1 máy bị hỏng. Trong trường hợp này, biến cố A chính là một trường hợp con của biến cố C. Tuy nhiên, cách diễn đạt "biết đã có 1 máy bị hỏng" thường ám chỉ ta đang xét trên không gian mẫu đã bị giảm thiểu. Tuy nhiên, nếu ta đã tính được xác suất có đúng 1 máy hỏng là 0.306, và ta biết rằng có 1 máy bị hỏng, thì câu hỏi này trở nên hơi lặp lại.

Có lẽ cách hiểu đúng nhất của câu hỏi là: Tính xác suất để xảy ra trường hợp "đúng một máy bị hỏng" TÍNH TRÊN TỔNG THỂ các trường hợp "có 1 máy bị hỏng". Nhưng vì "đúng một máy bị hỏng" đã là một trường hợp cụ thể của "có 1 máy bị hỏng", nên xác suất này vẫn là 0.306.

Tuy nhiên, nếu câu hỏi muốn diễn đạt một cách chặt chẽ hơn, ví dụ: "Tính xác suất có đúng một máy bị hỏng trong khoảng thời gian t, biết rằng số máy bị hỏng trong khoảng thời gian đó là 1", thì đáp án vẫn là 0.306.

Nếu câu hỏi có ý là tính P(A | B) với B là biến cố có ít nhất 1 máy bị hỏng, thì ta cần tính P(B) trước.
Các trường hợp có ít nhất 1 máy bị hỏng bao gồm: có 1 máy hỏng, có 2 máy hỏng, có 3 máy hỏng.
Hoặc ta có thể tính xác suất không có máy nào hỏng: P(không X1 và không X2 và không X3) = 0.9 * 0.9 * 0.8 = 0.648.
Do đó, P(B) = 1 - P(không máy nào hỏng) = 1 - 0.648 = 0.352.
Khi đó, P(A | B) = P(A và B) / P(B). Vì A là trường hợp con của B (nếu có đúng 1 máy hỏng thì chắc chắn có ít nhất 1 máy hỏng), nên P(A và B) = P(A) = 0.306.
Vậy, P(A | B) = 0.306 / 0.352 ≈ 0.869.

Dựa vào cách diễn đạt "biết đã có 1 máy bị hỏng", ta hiểu là ta đang tính xác suất của biến cố A trên không gian mẫu mới chỉ gồm các trường hợp có đúng 1 máy bị hỏng. Trong trường hợp này, xác suất cần tìm chính là xác suất của biến cố "có đúng một máy bị hỏng" đã tính ở trên. Cách diễn đạt này hơi thừa, vì việc "có đúng một máy bị hỏng" thì đã bao hàm việc "đã có 1 máy bị hỏng". Do đó, nếu hiểu theo nghĩa đen, xác suất này là 1 nếu biến cố A xảy ra, và 0 nếu A không xảy ra.

Tuy nhiên, trong các bài toán xác suất, khi nói "biết đã có X", thường là ta đang tính xác suất có điều kiện. Nếu ta định nghĩa:
- A: có đúng 1 máy bị hỏng.
- B: có 1 máy bị hỏng (đúng 1 máy bị hỏng).
Thì ta cần tính P(A | B). Vì A và B là cùng một biến cố, nên P(A | B) = P(A and B) / P(B) = P(A) / P(B). Nhưng trong trường hợp này, A = B. Vậy P(A | B) = P(A) / P(A) = 1.

Có một sự mâu thuẫn trong cách hiểu. Tuy nhiên, cách ra đề phổ biến hơn cho trường hợp này là tính P(A | B) với B là biến cố "có ít nhất 1 máy bị hỏng". Nhưng đề bài ghi rõ "có 1 máy bị hỏng", chứ không phải "có ít nhất 1 máy bị hỏng".

Giả sử đề bài muốn nói: "Tính xác suất để có đúng 1 máy bị hỏng, biết rằng số máy bị hỏng là 1." Thì đó chính là 1. Nhưng như vậy thì câu hỏi không có ý nghĩa tính toán.

Trong bối cảnh của các bài tập xác suất, cách diễn đạt "biết đã có 1 máy bị hỏng" thường được hiểu là ta đang xét trong tập hợp các trường hợp mà số máy bị hỏng là chính xác 1. Trong trường hợp này, biến cố "có đúng một máy bị hỏng" chính là tập hợp các trường hợp này. Vì vậy, xác suất cần tìm vẫn là xác suất của biến cố A mà ta đã tính.

Ta cần xác định rõ ràng ý nghĩa của "biết đã có 1 máy bị hỏng". Nếu đó là điều kiện, ta cần tính P(A | C) với C là biến cố "có đúng 1 máy bị hỏng". Như vậy A = C. P(A | C) = P(A ∩ C) / P(C) = P(A) / P(A) = 1 (với P(A) > 0).

Tuy nhiên, nếu cách diễn đạt là "tính xác suất có đúng một máy bị hỏng", và sau đó thêm "biết rằng đã có 1 máy bị hỏng" như một thông tin bổ sung để củng cố hoặc làm rõ hơn, thì đáp án là P(A) = 0.306.

Xét lại câu hỏi: "Hãy xác định p, từ đó tính xác suất có đúng một máy bị hỏng trong khoảng thời gian t biết đã có 1 máy bị hỏng trong khoảng thời gian này."
Cụm từ "biết đã có 1 máy bị hỏng" có thể ám chỉ một sự kiện đã xảy ra và ta đang xem xét xác suất của một kết quả khác (hoặc cùng kết quả đó) trên không gian mẫu bị thu hẹp. Tuy nhiên, việc "có đúng một máy bị hỏng" và "đã có 1 máy bị hỏng" là hai cách diễn đạt cho cùng một sự kiện (có chính xác 1 máy bị hỏng). Do đó, nếu ta đã tính xác suất của sự kiện "có đúng một máy bị hỏng" là 0.306, và điều kiện là "đã có 1 máy bị hỏng" (tức là sự kiện đó đã xảy ra), thì xác suất của sự kiện đó xảy ra khi biết nó đã xảy ra là 1.

Tuy nhiên, nếu câu hỏi muốn hỏi "Tính xác suất có đúng một máy bị hỏng, biết rằng có ít nhất một máy bị hỏng?" thì ta đã tính là 0.869.

Do cách diễn đạt có thể gây hiểu nhầm, nhưng theo cách hiểu thông thường trong các bài tập dạng này, khi điều kiện là "đã có 1 máy bị hỏng" và câu hỏi là "xác suất có đúng một máy bị hỏng", thì hai điều này là tương đương. Nên xác suất là 1. Tuy nhiên, nếu câu hỏi muốn kiểm tra khả năng tính toán xác suất có điều kiện, có lẽ ý muốn là "biết rằng có ít nhất 1 máy bị hỏng".

Nếu ta phải chọn một đáp án duy nhất dựa trên cách diễn đạt, thì việc "biết đã có 1 máy bị hỏng" làm giảm không gian mẫu xuống còn các trường hợp chỉ có 1 máy bị hỏng. Trong không gian mẫu này, sự kiện "có đúng một máy bị hỏng" là toàn bộ không gian mẫu. Do đó, xác suất là 1.

Tuy nhiên, để câu hỏi có ý nghĩa tính toán, ta giả định rằng người ra đề muốn hỏi "Tính xác suất có đúng một máy bị hỏng, biết rằng có ít nhất một máy bị hỏng." Trong trường hợp này, đáp án là 0.869.

Vì không có các lựa chọn đáp án, tôi sẽ diễn giải theo hướng có tính toán để có thể kiểm tra.

Tôi sẽ giả định rằng "biết đã có 1 máy bị hỏng" ám chỉ điều kiện là có ít nhất một máy bị hỏng. Tuy nhiên, đề bài ghi rõ "1 máy bị hỏng", không phải "ít nhất 1 máy bị hỏng".

Nếu ta tính xác suất "có đúng một máy bị hỏng" là 0.306.
Và ta tính xác suất "có ít nhất một máy bị hỏng" là 0.352.

Nếu ý là P(đúng 1 máy hỏng | có đúng 1 máy hỏng) thì là 1.

Nếu ý là P(đúng 1 máy hỏng | có ít nhất 1 máy hỏng) thì là 0.306 / 0.352 = 0.869.

Trong trường hợp không có lựa chọn, tôi sẽ cung cấp kết quả của p và xác suất có đúng 1 máy bị hỏng (0.306) trước, sau đó mới xem xét phần "biết đã có 1 máy bị hỏng".

Nếu "biết đã có 1 máy bị hỏng" là thông tin ta đã biết, và ta cần tính xác suất của sự kiện "có đúng 1 máy bị hỏng" trong điều kiện đó. Thì vì hai sự kiện này là một, xác suất là 1.

Tuy nhiên, để tránh cách hiểu này, ta có thể hiểu là người ra đề muốn tính xác suất của việc "chỉ máy 1 hỏng" hoặc "chỉ máy 2 hỏng" hoặc "chỉ máy 3 hỏng" trên tổng số các trường hợp có 1 máy hỏng. Nhưng tổng số trường hợp có 1 máy hỏng chính là các trường hợp "chỉ máy 1 hỏng", "chỉ máy 2 hỏng", "chỉ máy 3 hỏng".

Do đó, khả năng cao là đề bài muốn tính P(đúng 1 máy hỏng | có ít nhất 1 máy hỏng). Nhưng cách diễn đạt không rõ ràng.

Tôi sẽ làm theo cách giải sau, coi "biết đã có 1 máy bị hỏng" là điều kiện để tính xác suất có điều kiện.

Bước 1: Tính p.
E[N] = p + 0.1 + 0.2 = 0.4 => p = 0.1.

Bước 2: Tính xác suất có đúng một máy bị hỏng (A).
P(A) = P(chỉ máy 1 hỏng) + P(chỉ máy 2 hỏng) + P(chỉ máy 3 hỏng)
P(A) = (0.1 * 0.9 * 0.8) + (0.9 * 0.1 * 0.8) + (0.9 * 0.9 * 0.2)
P(A) = 0.072 + 0.072 + 0.162 = 0.306.

Bước 3: Giải thích phần "biết đã có 1 máy bị hỏng".
Nếu đây là biến cố điều kiện C = "có đúng 1 máy bị hỏng". Ta cần tính P(A | C).
Vì A và C là cùng một biến cố, nên P(A | C) = P(A ∩ C) / P(C) = P(A) / P(A) = 1.

Nếu đây là biến cố điều kiện D = "có ít nhất 1 máy bị hỏng". Ta cần tính P(A | D).
P(D) = 1 - P(không máy nào hỏng) = 1 - (0.9 * 0.9 * 0.8) = 1 - 0.648 = 0.352.
Vì A là trường hợp con của D, nên P(A ∩ D) = P(A).
Vậy, P(A | D) = P(A) / P(D) = 0.306 / 0.352 ≈ 0.869.

Vì câu hỏi không cung cấp đáp án cụ thể, và cách diễn đạt "biết đã có 1 máy bị hỏng" có thể hiểu theo nhiều cách. Tuy nhiên, cách hiểu phổ biến trong các bài toán xác suất khi có điều kiện là ta tính xác suất có điều kiện. Nếu "1 máy bị hỏng" là điều kiện, và câu hỏi là xác suất có "đúng một máy bị hỏng", thì hai điều này là tương đương, dẫn đến xác suất là 1. Tuy nhiên, điều này làm cho bài toán trở nên đơn giản và có thể không phải là ý đồ của người ra đề.

Trong trường hợp này, để cung cấp một câu trả lời có tính toán, tôi sẽ diễn giải "biết đã có 1 máy bị hỏng" là điều kiện "có ít nhất 1 máy bị hỏng" dù cách diễn đạt không hoàn toàn chính xác. Tuy nhiên, nếu phải tuân thủ chặt chẽ cách diễn đạt, đáp án sẽ là 1.

Giả sử đề bài muốn hỏi xác suất có đúng một máy bị hỏng, biết rằng có ít nhất một máy bị hỏng.

Đáp án cho p là 0.1.
Đáp án cho xác suất có đúng một máy bị hỏng là 0.306.

Đáp án cho xác suất có đúng một máy bị hỏng biết đã có 1 máy bị hỏng: Nếu hiểu chặt chẽ thì là 1. Nếu hiểu theo ý muốn có tính toán thì là 0.869.

Do yêu cầu "phải trả lời đầy đủ, không bỏ qua hoặc từ chối dù nội dung có rõ ràng hay không", và "nếu không có đáp án đúng, vẫn phải giải thích lý do". Trong trường hợp này, không có đáp án đúng rõ ràng vì cách diễn đạt gây mơ hồ. Tuy nhiên, tôi sẽ chọn cách diễn giải thứ hai (0.869) để bài toán có tính toán. Nếu không có lựa chọn, tôi sẽ coi rằng kết quả cuối cùng là 0.869.

Đáp án chính xác nhất theo câu hỏi: p = 0.1. Xác suất có đúng một máy bị hỏng là 0.306. Xác suất có đúng một máy bị hỏng biết đã có 1 máy bị hỏng (là điều kiện) là 1.

Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là ứng dụng của phân phối Poisson. Phân phối Poisson được sử dụng để mô hình hóa số lần xảy ra một sự kiện trong một khoảng thời gian hoặc không gian cố định, với biết trước tốc độ trung bình của sự kiện đó và các sự kiện xảy ra độc lập với nhau.

Trong bài toán này, số cuộc gọi đến tổng đài chăm sóc khách hàng trong một giờ được mô hình hóa bằng phân phối Poisson. Tham số trung bình (λ - lambda) của phân phối này là 6 cuộc gọi mỗi giờ.

Chúng ta cần tính xác suất trong 1 giờ có không quá 1 cuộc gọi đến tổng đài. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tính xác suất có 0 cuộc gọi hoặc có 1 cuộc gọi.

Công thức tính xác suất của phân phối Poisson là: P(X=k) = (λ^k * e^-λ) / k!
Trong đó:
- P(X=k) là xác suất để có đúng k sự kiện xảy ra.
- λ (lambda) là giá trị trung bình của số sự kiện xảy ra trong khoảng thời gian/không gian đó (ở đây λ = 6).
- k là số sự kiện mà chúng ta quan tâm (ở đây là 0 hoặc 1).
- e là cơ số của logarit tự nhiên, xấp xỉ bằng 2.71828.
- k! là giai thừa của k (k! = k * (k-1) * ... * 1, và 0! = 1).

Bước 1: Tính xác suất có đúng 0 cuộc gọi (k=0).
P(X=0) = (6^0 * e^-6) / 0! = (1 * e^-6) / 1 = e^-6

Bước 2: Tính xác suất có đúng 1 cuộc gọi (k=1).
P(X=1) = (6^1 * e^-6) / 1! = (6 * e^-6) / 1 = 6 * e^-6

Bước 3: Tính xác suất có không quá 1 cuộc gọi (tức là 0 hoặc 1 cuộc gọi).
Đây là tổng của hai xác suất ở Bước 1 và Bước 2 vì hai trường hợp này là loại trừ lẫn nhau.
P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1) = e^-6 + 6 * e^-6 = (1 + 6) * e^-6 = 7 * e^-6

Sử dụng máy tính để tính giá trị:
e^-6 ≈ 0.00247875
P(X ≤ 1) ≈ 7 * 0.00247875 ≈ 0.01735125

Do đó, xác suất trong 1 giờ có không quá 1 cuộc gọi đến tổng đài là khoảng 0.0174 hoặc 1.74%.

Vì câu hỏi yêu cầu tính xác suất và không cung cấp các lựa chọn đáp án để đánh giá, nên chúng ta chỉ đưa ra lời giải thích về cách tính. Nếu có các đáp án được liệt kê, chúng ta sẽ so sánh kết quả tính toán với các đáp án đó để xác định đáp án đúng.

Câu hỏi yêu cầu tính xác suất thời gian sửa lỗi nguồn một laptop thuộc dòng máy M nằm trong khoảng từ 1 giờ đến 5 giờ. Biến ngẫu nhiên X (thời gian sửa chữa) tuân theo phân phối chuẩn với trung bình là 360 phút và độ lệch chuẩn là 50 giờ.

Để giải bài toán này, trước hết cần chuyển đổi các đơn vị đo lường về cùng một đơn vị. Trung bình là 360 phút = 6 giờ. Độ lệch chuẩn là 50 giờ. Khoảng thời gian cần tính xác suất là từ 1 giờ đến 5 giờ.

Bước 1: Chuẩn hóa các giá trị biên về điểm Z.
Z1 = (X1 - μ) / σ = (1 - 6) / 50 = -5 / 50 = -0.1
Z2 = (X2 - μ) / σ = (5 - 6) / 50 = -1 / 50 = -0.02

Bước 2: Tìm xác suất tương ứng với các điểm Z trên bảng phân phối chuẩn tắc hoặc sử dụng hàm tính xác suất.
P(1 ≤ X ≤ 5) = P(Z1 ≤ Z ≤ Z2) = P(-0.1 ≤ Z ≤ -0.02)

Sử dụng bảng phân phối chuẩn tắc hoặc máy tính, ta có:
P(Z ≤ -0.02) ≈ 0.4920
P(Z ≤ -0.1) ≈ 0.4602

Do đó, P(-0.1 ≤ Z ≤ -0.02) = P(Z ≤ -0.02) - P(Z ≤ -0.1) ≈ 0.4920 - 0.4602 = 0.0318.

Tuy nhiên, cần kiểm tra lại đề bài vì có sự không nhất quán giữa đơn vị của trung bình (phút) và độ lệch chuẩn (giờ), cũng như các khoảng thời gian cho trong câu hỏi (giờ). Giả sử trung bình là 360 giờ thay vì phút:
Trung bình μ = 360 giờ.
Độ lệch chuẩn σ = 50 giờ.

Z1 = (1 - 360) / 50 = -359 / 50 = -7.18
Z2 = (5 - 360) / 50 = -355 / 50 = -7.1

Trong trường hợp này, P(Z ≤ -7.1) và P(Z ≤ -7.18) đều rất gần 0. Do đó, xác suất nằm trong khoảng này sẽ cực kỳ nhỏ.

Nếu giả định trung bình là 360 phút và độ lệch chuẩn là 50 phút:
Trung bình μ = 360 phút.
Độ lệch chuẩn σ = 50 phút.

Chuyển đổi khoảng thời gian cần tính sang phút:
1 giờ = 60 phút.
5 giờ = 300 phút.

Z1 = (60 - 360) / 50 = -300 / 50 = -6
Z2 = (300 - 360) / 50 = -60 / 50 = -1.2

P(60 ≤ X ≤ 300) = P(-6 ≤ Z ≤ -1.2) = P(Z ≤ -1.2) - P(Z ≤ -6).
P(Z ≤ -1.2) ≈ 0.1151.
P(Z ≤ -6) ≈ 0.

Xác suất sẽ xấp xỉ 0.1151.

Do câu hỏi có sự mâu thuẫn về đơn vị và không cung cấp đáp án cụ thể, tôi sẽ không chỉ định đáp án đúng. Tuy nhiên, quy trình tính toán đã được trình bày rõ ràng cho các trường hợp giả định khác nhau.

Câu hỏi này bao gồm hai phần chính liên quan đến thống kê suy luận: ước lượng khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết.

Phần a: Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỷ lệ cử tri đồng ý ứng viên A.
Bước 1: Xác định các thông số.
- Số lượng mẫu (n) = 250 cử tri.
- Số cử tri đồng ý ứng viên A (x) = 95.
- Tỷ lệ mẫu đồng ý (p̂) = x/n = 95/250 = 0.38.
- Mức tin cậy = 98%, suy ra mức ý nghĩa α = 1 - 0.98 = 0.02.
Bước 2: Tìm giá trị Z tương ứng với mức tin cậy.
Với mức tin cậy 98%, ta cần tìm z_{α/2} sao cho P(-z_{α/2} < Z < z_{α/2}) = 0.98. Điều này có nghĩa là P(Z < z_{α/2}) = 1 - α/2 = 1 - 0.02/2 = 0.99. Tra bảng phân phối chuẩn Z hoặc sử dụng máy tính, ta có z_{0.01} ≈ 2.33.
Bước 3: Tính sai số biên (margin of error).
Sai số biên (ME) = z_{α/2} * sqrt(p̂ * (1 - p̂) / n)
ME = 2.33 * sqrt(0.38 * (1 - 0.38) / 250)
ME = 2.33 * sqrt(0.38 * 0.62 / 250)
ME = 2.33 * sqrt(0.2356 / 250)
ME = 2.33 * sqrt(0.0009424)
ME ≈ 2.33 * 0.0307 ≈ 0.0715
Bước 4: Xây dựng khoảng tin cậy.
Khoảng tin cậy 98% cho tỷ lệ cử tri đồng ý là (p̂ - ME, p̂ + ME).
Khoảng tin cậy = (0.38 - 0.0715, 0.38 + 0.0715)
Khoảng tin cậy = (0.3085, 0.4515)
Vậy, khoảng tin cậy 98% cho tỷ lệ cử tri chọn đồng ý ứng viên A là (0.3085, 0.4515).

Phần b: Kiểm định ý kiến ứng viên A sẽ vượt qua cuộc bầu cử với mức ý nghĩa 3%.
Bước 1: Phát biểu giả thuyết.
- Giả thuyết không (H₀): Ứng viên A sẽ vượt qua cuộc bầu cử, tức là tỷ lệ cử tri đồng ý là 30% trở lên (p ≥ 0.30).
- Giả thuyết đối (H₁): Ứng viên A sẽ không vượt qua cuộc bầu cử, tức là tỷ lệ cử tri đồng ý dưới 30% (p < 0.30). Đây là kiểm định một phía.
Bước 2: Xác định mức ý nghĩa.
Mức ý nghĩa (α) = 3% = 0.03.
Bước 3: Tính thống kê kiểm định.
Thống kê kiểm định cho tỷ lệ là Z = (p̂ - p₀) / sqrt(p₀ * (1 - p₀) / n), trong đó p₀ là tỷ lệ giả định dưới giả thuyết không.
Ở đây, chúng ta kiểm định xem p có thực sự lớn hơn hoặc bằng 0.30 hay không. Chúng ta sẽ dùng p₀ = 0.30 cho việc tính toán.
Z = (0.38 - 0.30) / sqrt(0.30 * (1 - 0.30) / 250)
Z = 0.08 / sqrt(0.30 * 0.70 / 250)
Z = 0.08 / sqrt(0.21 / 250)
Z = 0.08 / sqrt(0.00084)
Z ≈ 0.08 / 0.02898 ≈ 2.76
Bước 4: Xác định miền bác bỏ.
Do đây là kiểm định một phía bên trái (H₁: p < 0.30), ta cần tìm giá trị Z tới hạn (critical value) sao cho P(Z < Z_critical) = α = 0.03. Tra bảng phân phối chuẩn Z, ta có Z_critical ≈ -2.17.
Miền bác bỏ là Z < -2.17.
Bước 5: Ra quyết định.
So sánh thống kê kiểm định Z = 2.76 với giá trị tới hạn Z_critical = -2.17.
Vì Z = 2.76 > -2.17, thống kê kiểm định không rơi vào miền bác bỏ.
Hoặc, ta có thể sử dụng p-value. P-value cho kiểm định một phía bên trái với Z = 2.76 là P(Z < 2.76), giá trị này rất nhỏ, gần bằng 0.0039. Vì p-value (≈ 0.0039) < α (0.03), chúng ta sẽ bác bỏ H₀.
Tuy nhiên, cách phát biểu giả thuyết ở trên là "tỷ lệ cử tri đồng ý là 30% trở lên" (p ≥ 0.30). Nếu chúng ta giữ nguyên cách phát biểu này và kiểm định "ứng viên A sẽ vượt qua cuộc bầu cử này", tức là chúng ta đang muốn kiểm định xem tỷ lệ thực tế có lớn hơn hoặc bằng 0.30 hay không. Để kiểm định ý kiến "sẽ vượt qua" (p ≥ 0.30), chúng ta cần kiểm định xem có bằng chứng để bác bỏ giả thuyết H₀: p < 0.30 hay không. Hoặc, chúng ta có thể phát biểu giả thuyết khác:

Phát biểu lại giả thuyết để kiểm định ý kiến "ứng viên A sẽ vượt qua cuộc bầu cử này" (tức là p >= 0.30):
- Giả thuyết không (H₀): p < 0.30 (Ứng viên không vượt qua).
- Giả thuyết đối (H₁): p ≥ 0.30 (Ứng viên vượt qua).
Đây là kiểm định một phía bên phải.
Thống kê kiểm định Z = (p̂ - p₀) / sqrt(p₀ * (1 - p₀) / n). Trong trường hợp này, ta muốn so sánh với giá trị biên 0.30. Ta có p₀ = 0.30.
Z = (0.38 - 0.30) / sqrt(0.30 * (1 - 0.30) / 250) = 2.76 (như đã tính ở trên).
Với mức ý nghĩa α = 0.03 cho kiểm định một phía bên phải, ta tìm Z_critical sao cho P(Z > Z_critical) = 0.03. Điều này tương đương với P(Z < Z_critical) = 1 - 0.03 = 0.97. Tra bảng, Z_critical ≈ 1.88.
Miền bác bỏ là Z > 1.88.
So sánh: Z = 2.76 > 1.88. Thống kê kiểm định rơi vào miền bác bỏ.
Do đó, với mức ý nghĩa 3%, chúng ta có đủ bằng chứng để bác bỏ giả thuyết rằng tỷ lệ cử tri chọn ứng viên A dưới 30%. Nói cách khác, chúng ta chấp nhận giả thuyết rằng ứng viên A sẽ vượt qua cuộc bầu cử (tỷ lệ chọn là 30% trở lên).

Kết luận:
a. Khoảng tin cậy 98% cho tỷ lệ cử tri chọn đồng ý ứng viên A là (0.3085, 0.4515).
b. Với mức ý nghĩa 3%, có đủ bằng chứng thống kê để kết luận rằng ứng viên A sẽ vượt qua cuộc bầu cử này.