Gieo 1 lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. X là số chấm ở mặt xuất hiện. Kỳ vọng M(X):

Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6, mỗi giá trị có xác suất là 1/6.

Giá trị kỳ vọng E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2

E(X^2) = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2)/6 = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6

Phương sai D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 91/6 - (7/2)^2 = 91/6 - 49/4 = (182 - 147)/12 = 35/12

Gọi A là biến cố "người đó hút thuốc lá", B là biến cố "người đó bị viêm họng".
Ta có: P(A) = 30/100 = 0,3; P(¬A) = 1 - P(A) = 0,7
P(B|A) = 0,6; P(B|¬A) = 0,3
Suy ra P(¬B|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0,6 = 0,4
P(¬B|¬A) = 1 - P(B|¬A) = 1 - 0,3 = 0,7
Ta cần tính P(A|¬B), theo công thức Bayes:
P(A|¬B) = [P(¬B|A) * P(A)] / [P(¬B|A) * P(A) + P(¬B|¬A) * P(¬A)]
P(A|¬B) = (0,4 * 0,3) / (0,4 * 0,3 + 0,7 * 0,7) = 0,12 / (0,12 + 0,49) = 0,12 / 0,61 ≈ 0,1967
Vậy xác suất người đó hút thuốc lá nếu biết người đó không bị viêm họng là 0,1967.

Gọi n là số lần gieo xúc xắc. Xác suất để không có mặt 6 nào xuất hiện trong n lần gieo là (5/6)^n. Do đó, xác suất để có ít nhất một mặt 6 xuất hiện là 1 - (5/6)^n.
Ta cần tìm n sao cho 1 - (5/6)^n >= 0.9, tương đương với (5/6)^n <= 0.1.
Lấy logarit tự nhiên hai vế: n * ln(5/6) <= ln(0.1)
n >= ln(0.1) / ln(5/6) ≈ 12.63.
Vì n phải là số nguyên, nên n ít nhất phải là 13.

Gọi p là xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ trong mỗi lần bắn. Ta xét các trường hợp có thể xảy ra của X:

* X = 1: Xạ thủ bắn trúng mục tiêu ngay lần đầu tiên. Xác suất là p.
* X = 2: Xạ thủ bắn trượt lần đầu và bắn trúng lần thứ hai. Xác suất là (1-p)p.
* X = 3: Xạ thủ bắn trượt hai lần đầu và bắn trúng lần thứ ba. Xác suất là (1-p)^2 * p.
* X = 4: Xạ thủ bắn trượt ba lần đầu và bắn trúng lần thứ tư, hoặc bắn trượt cả 4 lần. Xác suất là (1-p)^3 * p + (1-p)^4.

Mốt của X là giá trị X có xác suất xảy ra lớn nhất. Để tìm mốt, ta so sánh các xác suất:

P(X=1) = p
P(X=2) = (1-p)p
P(X=3) = (1-p)^2 * p
P(X=4) = (1-p)^3 * p + (1-p)^4

Nếu p > 1-p, tức p > 0.5 thì P(X=1) > P(X=2) > P(X=3). Do đó, mốt của X là 1.
Nếu p < 1-p, tức p < 0.5 thì P(X=1) < P(X=2). Tuy nhiên, điều này không đảm bảo P(X=2) là lớn nhất. Để xác định chính xác mốt, ta cần so sánh cụ thể hơn. Tuy nhiên, với thông tin đề bài, ta không biết giá trị cụ thể của p. Ta thấy rằng P(X=1) lớn nhất khi p lớn (xạ thủ bắn giỏi) và nhỏ nhất khi p nhỏ (xạ thủ bắn kém). Trong trường hợp tổng quát, không có đủ thông tin để kết luận mốt của X là bao nhiêu, nhưng thông thường, nếu không có thông tin gì thêm, ta giả định khả năng trúng là thấp, do đó số lần bắn có thể sẽ nhiều hơn. Tuy nhiên, vì các đáp án là các số cụ thể, chúng ta có thể suy luận như sau:

* Nếu p gần 1, thì khả năng X=1 cao nhất.
* Nếu p nhỏ, thì X có thể bằng 2, 3 hoặc 4 tùy thuộc vào giá trị p.

Tuy nhiên, trong các bài toán xác suất thống kê, khi không có thông tin gì thêm về xác suất trúng mục tiêu (p), ta thường giả định rằng xạ thủ có khả năng bắn trượt cao hơn bắn trúng. Do đó, số lần bắn có khả năng cao hơn là lớn hơn 1. Trong các đáp án, 1 là nhỏ nhất, nên ít có khả năng là mốt.
Nếu xác suất bắn trúng rất thấp, thì khả năng xạ thủ phải bắn đến viên đạn cuối cùng là khá cao, và khi đó X=4 có thể là mốt.

Tuy nhiên, không có đủ dữ kiện để xác định chính xác mốt. Trong trường hợp này, nếu phải chọn một đáp án mà không có thêm thông tin, ta chọn đáp án D. 1 vì nó là trường hợp xạ thủ bắn trúng ngay từ lần đầu tiên, và có xác suất xảy ra nếu xạ thủ có kỹ năng tốt.

Vì Y = X², để Y = 1 thì X có thể là -1 hoặc 1. Do đó, P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = 0,1 + 0,4 = 0,5.