Công ty ABC chuyên cho thuê máy xét nghiệm COVID-19, nhu cầu về máy này được cho ở bảng bên dưới. Lợi nhuận khi cho thuê là 10$/máy. Công ty hiện có 4 máy.

Nhu cầu (máy)	Xác suất
0	0.3
1	0.2
2	0.2
3	0.15
4	0.1
5	0.05

a/ Hãy xác định chi phí dư thừa nếu như số lượng máy mà công ty đang có là tối ưu.

b/ Giả sử chi phí thiếu hụt là 5$/máy. Hãy xác số máy mà công ty nên lưu trữ.

Câu hỏi này thuộc lĩnh vực Quản lý tồn kho, cụ thể là bài toán tối ưu hóa số lượng hàng tồn kho dựa trên chi phí cơ hội và chi phí thiếu hụt. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: **Phần a: Xác định chi phí dư thừa nếu số lượng máy là tối ưu.** Chi phí dư thừa xảy ra khi số lượng máy mà công ty sở hữu vượt quá nhu cầu thực tế. Để xác định số lượng máy tối ưu, chúng ta cần tính toán giá trị kỳ vọng của nhu cầu và so sánh với số lượng máy hiện có. Tuy nhiên, câu hỏi lại yêu cầu xác định chi phí dư thừa nếu số lượng máy công ty có là tối ưu. Điều này ngụ ý rằng chúng ta cần tìm ra mức tồn kho mà tại đó tổng chi phí (chi phí dư thừa + chi phí thiếu hụt) là thấp nhất, hoặc xác định chi phí dư thừa tại một mức tồn kho cho trước (4 máy). Để xác định chi phí dư thừa tại mức tồn kho 4 máy, chúng ta cần xét các trường hợp nhu cầu nhỏ hơn 4: - Nếu nhu cầu là 0 (xác suất 0.3), chi phí dư thừa là 4 máy * 10$/máy = 40$ (nếu coi chi phí dư thừa là chi phí cơ hội bỏ lỡ do máy không được sử dụng). - Nếu nhu cầu là 1 (xác suất 0.2), chi phí dư thừa là 3 máy * 10$/máy = 30$. - Nếu nhu cầu là 2 (xác suất 0.2), chi phí dư thừa là 2 máy * 10$/máy = 20$. - Nếu nhu cầu là 3 (xác suất 0.15), chi phí dư thừa là 1 máy * 10$/máy = 10$. Tuy nhiên, cách hiểu thông thường của "chi phí dư thừa" trong quản lý tồn kho là chi phí của hàng tồn kho còn lại vào cuối kỳ khi không bán được, hoặc chi phí cơ hội của việc đầu tư vào số hàng đó mà không sinh lời. Với đề bài cho lợi nhuận khi cho thuê là 10$/máy, chi phí dư thừa có thể được hiểu là chi phí cơ hội của những máy không được cho thuê. Để xác định số lượng máy tối ưu, chúng ta cần tính toán chi phí kỳ vọng cho từng mức tồn kho và chọn mức có chi phí thấp nhất. Tuy nhiên, câu hỏi a lại giả định số lượng máy (4 máy) là tối ưu và yêu cầu tính chi phí dư thừa. Điều này có thể hiểu là tính chi phí cơ hội của những máy không được cho thuê khi nhu cầu thấp hơn 4. Giá trị kỳ vọng của nhu cầu (E(Nhu cầu)) = (0*0.3) + (1*0.2) + (2*0.2) + (3*0.15) + (4*0.1) + (5*0.05) = 0 + 0.2 + 0.4 + 0.45 + 0.4 + 0.25 = 1.7 máy. Nếu công ty có 4 máy, số máy dư thừa sẽ là số máy không được cho thuê. Lợi nhuận khi cho thuê là 10$/máy. Chi phí thiếu hụt không được đề cập trong phần a. Chúng ta cần tính chi phí kỳ vọng cho từng cấp độ tồn kho để xác định mức tối ưu. Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu tính chi phí dư thừa nếu số lượng máy là tối ưu (với giả định số máy hiện có là 4). Nếu công ty có 4 máy, chúng ta xem xét các trường hợp nhu cầu: - Nhu cầu 0 (xác suất 0.3): Có 4 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 4 * 10 = 40$. - Nhu cầu 1 (xác suất 0.2): Có 3 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 3 * 10 = 30$. - Nhu cầu 2 (xác suất 0.2): Có 2 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 2 * 10 = 20$. - Nhu cầu 3 (xác suất 0.15): Có 1 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 1 * 10 = 10$. - Nhu cầu 4 (xác suất 0.1): Có 0 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 0$. - Nhu cầu 5 (xác suất 0.05): Không có máy dư thừa (thậm chí bị thiếu). Chi phí dư thừa = 0$. Chi phí dư thừa kỳ vọng với 4 máy = (40 * 0.3) + (30 * 0.2) + (20 * 0.2) + (10 * 0.15) + (0 * 0.1) + (0 * 0.05) = 12 + 6 + 4 + 1.5 + 0 + 0 = 23.5$. Đây là cách tính chi phí dư thừa kỳ vọng nếu có 4 máy. Tuy nhiên, nếu đề bài nói "nếu như số lượng máy mà công ty đang có là tối ưu" thì chúng ta phải tìm mức tồn kho tối ưu trước. Để tìm mức tồn kho tối ưu, ta cần xem xét chi phí thiếu hụt (Cu) và chi phí dư thừa (Co). Co = 10$/máy. Ta cần tính Cu. Chi phí thiếu hụt là 5$/máy. Ta dùng công thức quyết định số lượng đặt hàng (hoặc số lượng lưu trữ trong trường hợp này) bằng cách tính điểm cân bằng marginal. Nguyên tắc là tăng số lượng tồn kho chừng nào chi phí thiếu hụt kỳ vọng khi tăng thêm một đơn vị còn lớn hơn chi phí dư thừa của việc có thêm một đơn vị đó. Cụ thể, ta sẽ tính xác suất tích lũy mà nhu cầu vượt quá một mức tồn kho nào đó. | Nhu cầu (Q) | Xác suất (P(Q)) | Xác suất tích lũy P(Nhu cầu <= Q) | Xác suất P(Nhu cầu > Q) | Chi phí thiếu hụt kỳ vọng nếu có Q máy | Chi phí dư thừa kỳ vọng nếu có Q máy | |---|---|---|---|---|---| | 0 | 0.3 | 0.3 | 1.0 | (1.0 * 5$) = 5$ | (0 * 10$) = 0$ | | 1 | 0.2 | 0.5 | 0.7 | (0.7 * 5$) = 3.5$ | (1 * 10$) = 10$ | | 2 | 0.2 | 0.7 | 0.5 | (0.5 * 5$) = 2.5$ | (2 * 10$) = 20$ | | 3 | 0.15 | 0.85 | 0.3 | (0.3 * 5$) = 1.5$ | (3 * 10$) = 30$ | | 4 | 0.1 | 0.95 | 0.15 | (0.15 * 5$) = 0.75$ | (4 * 10$) = 40$ | | 5 | 0.05 | 1.0 | 0.05 | (0.05 * 5$) = 0.25$ | (5 * 10$) = 50$ | Để tìm số lượng máy tối ưu (Q*), ta tìm Q sao cho P(Nhu cầu <= Q) >= Cu / (Cu + Co). Cu = 5$, Co = 10$. Cu / (Cu + Co) = 5 / (5 + 10) = 5 / 15 = 1/3 ≈ 0.333. Ta tìm Q sao cho P(Nhu cầu <= Q) >= 0.333. - P(Nhu cầu <= 0) = 0.3 (chưa đạt) - P(Nhu cầu <= 1) = 0.3 + 0.2 = 0.5 (đạt) Vậy, số lượng máy tối ưu là 1. Bây giờ, chúng ta tính chi phí dư thừa nếu số lượng máy (1 máy) là tối ưu: - Nhu cầu 0 (xác suất 0.3): Có 1 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 1 * 10 = 10$. - Nhu cầu 1 (xác suất 0.2): Có 0 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 0$. - Nhu cầu 2 (xác suất 0.2): Có 0 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 0$. - Nhu cầu 3 (xác suất 0.15): Có 0 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 0$. - Nhu cầu 4 (xác suất 0.1): Có 0 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 0$. - Nhu cầu 5 (xác suất 0.05): Có 0 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 0$. Chi phí dư thừa kỳ vọng với 1 máy = (10 * 0.3) + (0 * 0.2) + (0 * 0.2) + (0 * 0.15) + (0 * 0.1) + (0 * 0.05) = 3$. Vậy, chi phí dư thừa nếu số lượng máy là tối ưu (1 máy) là 3$ (kỳ vọng). **Phần b: Giả sử chi phí thiếu hụt là 5$/máy. Hãy xác số máy mà công ty nên lưu trữ.** Như đã tính ở trên, với chi phí thiếu hụt (Cu) là 5$/máy và chi phí dư thừa (Co) là 10$/máy, ta tìm số lượng máy nên lưu trữ bằng cách tìm Q sao cho P(Nhu cầu <= Q) >= Cu / (Cu + Co). Cu / (Cu + Co) = 5 / (5 + 10) = 5 / 15 = 1/3 ≈ 0.333. Ta tìm Q sao cho xác suất tích lũy của nhu cầu nhỏ hơn hoặc bằng Q đạt mức 0.333. - P(Nhu cầu <= 0) = 0.3 - P(Nhu cầu <= 1) = P(Nhu cầu <= 0) + P(Nhu cầu = 1) = 0.3 + 0.2 = 0.5. Vì 0.5 >= 0.333 và 0.3 < 0.333, nên số lượng máy mà công ty nên lưu trữ là 1 máy. **Đáp án cho câu hỏi a:** Để xác định chi phí dư thừa nếu số lượng máy là tối ưu, trước hết ta cần tìm số lượng máy tối ưu. Ta sử dụng quy tắc cân bằng biên: tăng mức tồn kho chừng nào lợi ích biên (giảm chi phí thiếu hụt) lớn hơn chi phí biên (tăng chi phí dư thừa). Tỷ lệ giữa chi phí thiếu hụt (Cu) và chi phí dư thừa (Co) là Cu / (Cu + Co) = 5 / (5 + 10) = 1/3. Ta tìm mức tồn kho Q sao cho xác suất tích lũy của nhu cầu P(Nhu cầu <= Q) >= 1/3. * Với Q=0, P(Nhu cầu <= 0) = 0.3 (chưa đạt). * Với Q=1, P(Nhu cầu <= 1) = P(Nhu cầu <= 0) + P(Nhu cầu = 1) = 0.3 + 0.2 = 0.5 (đạt). Vậy, số lượng máy tối ưu là 1. Chi phí dư thừa xảy ra khi số lượng máy tồn kho lớn hơn nhu cầu. Với 1 máy tồn kho tối ưu: * Khi nhu cầu là 0 (xác suất 0.3), có 1 máy dư thừa. Chi phí dư thừa = 1 máy * 10$/máy = 10$. * Khi nhu cầu từ 1 trở lên (xác suất 0.2 + 0.2 + 0.15 + 0.1 + 0.05 = 0.7), không có máy dư thừa. Do đó, chi phí dư thừa kỳ vọng khi có 1 máy là: (10$ * 0.3) + (0$ * 0.7) = 3$. **Đáp án cho câu hỏi b:** Như đã phân tích ở trên, với chi phí thiếu hụt 5$/máy và chi phí dư thừa 10$/máy, tỷ lệ Cu / (Cu + Co) = 1/3. Số lượng máy nên lưu trữ là mức tồn kho Q sao cho xác suất tích lũy của nhu cầu P(Nhu cầu <= Q) đạt hoặc vượt quá 1/3. * P(Nhu cầu <= 0) = 0.3 * P(Nhu cầu <= 1) = 0.5 Vì 0.5 >= 1/3 và 0.3 < 1/3, số lượng máy mà công ty nên lưu trữ là 1 máy.