Có bao nhiêu số nguyên dương gồm đúng 3 chữ số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 4?

Số các số có 10 chữ số khác nhau được tạo thành từ 10 chữ số đã cho là 10! = 3628800.
Số các số có 10 chữ số khác nhau được tạo thành từ 10 chữ số đã cho mà chữ số 0 đứng đầu là 9! = 362880.
Số các số có 10 chữ số khác nhau được tạo thành từ 10 chữ số đã cho mà chữ số 1 đứng đầu là 9! = 362880.
Số các số có 10 chữ số khác nhau được tạo thành từ 10 chữ số đã cho mà chữ số 0 và 1 cùng đứng đầu là 8! = 40320.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là 10! - 9! - 9! + 8! = 3628800 - 362880 - 362880 + 40320 = 3265920.

Đường đi Euler trên đồ thị vô hướng là đường đi đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần.

- Nếu đường đi Euler là chu trình (bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh), thì tất cả các đỉnh của đồ thị phải có bậc chẵn.
- Nếu đường đi Euler không phải là chu trình (bắt đầu và kết thúc tại hai đỉnh khác nhau), thì đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ, và đường đi Euler bắt đầu tại một trong hai đỉnh bậc lẻ này và kết thúc tại đỉnh bậc lẻ còn lại.

Như vậy, đỉnh đầu và đỉnh cuối của đường đi Euler vô hướng sẽ khác nhau nếu nó không phải là chu trình. Nếu là chu trình thì đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau, khi đó tất cả các đỉnh đều có bậc chẵn.

Phương án A: Trùng nhau - Đúng trong trường hợp đường đi Euler là một chu trình.
Phương án B: Khác nhau - Đúng trong trường hợp đường đi Euler không phải là chu trình.
Phương án C: Có cùng bậc chẵn - Không chính xác, vì chỉ đúng với đỉnh đầu và đỉnh cuối, các đỉnh khác có thể bậc lẻ.
Phương án D: Đỉnh đầu bậc chẵn đỉnh cuối bậc lẻ - Sai, vì đường đi Euler khi đó không tồn tại.

Vì câu hỏi không nói rõ là đường đi Euler hay chu trình Euler nên đáp án chính xác nhất là B. Khác nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp đường đi Euler là chu trình thì đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Do đó, câu hỏi có phần chưa rõ ràng, nhưng trong các lựa chọn, B là phù hợp nhất nếu ta hiểu là đường đi Euler nói chung (không nhất thiết là chu trình).

Nếu câu hỏi hỏi về chu trình Euler, thì đáp án A mới đúng.

Thuật toán Ford-Fulkerson là một thuật toán cổ điển để tìm luồng cực đại trong một mạng lưới. Ý tưởng cơ bản của thuật toán là lặp đi lặp lại việc tìm đường đi tăng luồng (augmenting path) từ đỉnh phát (source) đến đỉnh thu (sink) trong mạng thặng dư. Mỗi khi tìm được một đường đi tăng luồng, ta sẽ tăng luồng dọc theo đường đi đó và cập nhật mạng thặng dư. Quá trình này lặp lại cho đến khi không còn đường đi tăng luồng nào từ đỉnh phát đến đỉnh thu. Việc "đánh dấu các đỉnh" là một kỹ thuật được sử dụng để tìm đường đi tăng luồng trong mạng thặng dư. Sau khi tìm được đường đi tăng luồng, ta sẽ "cải tiến luồng" bằng cách tăng luồng dọc theo đường đi đó.