Câu hỏi:

Bài toán yêu cầu tìm khoảng cách giữa 2 điểm trên đồ thị $(C): y = \frac{2x+1}{x-1}$ và 2 điểm trên đường thẳng $(d): y = -x+4$ sao cho 4 điểm này tạo thành hình vuông.
Gọi $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ là 2 điểm trên $(C)$, $C(x_3, y_3)$ và $D(x_4, y_4)$ là 2 điểm trên $(d)$ sao cho $ABCD$ là hình vuông.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$ và $AB \perp AC$. Vì $AB, CD$ tiếp tuyến với $(C)$ và $(d)$ nên hệ số góc của $AB$ và $CD$ bằng nhau và bằng -1. $AB$ và $CD$ có dạng $y = -x + b$.
Gọi $M, N$ là trung điểm của $AC$ và $BD$. Khi đó $M, N$ nằm trên đường thẳng $\Delta: y = x + 1$ (là đường thẳng đi qua tâm đối xứng $I(1, 2)$ của $(C)$ và vuông góc với $(d)$ ).
Gọi $E, F$ lần lượt là giao điểm của $(C)$ và $(d)$ với $\Delta$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $\Delta$: $\frac{2x+1}{x-1} = x + 1 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{3}$.
Suy ra $E(1 + \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}), F(1 - \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3})$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $\Delta$: $-x + 4 = x + 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.
Suy ra $G(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$.
Gọi $a$ là độ dài cạnh hình vuông. $MN = a$ và $EF = a\sqrt{2}$.
$EF = \sqrt{ (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 } = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
Suy ra $a = \frac{EF}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}$.
Vậy $AB = a = 2\sqrt{3} \approx 3.46$.