Câu hỏi:

Từ đồ thị hàm số, ta thấy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=2$.
Vậy đáp án là D.

Đồ thị hàm số có dạng của hàm bậc 3 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

Vì $\lim_{x \to -\infty} y = +\infty$ nên $a < 0$. Do đó, loại đáp án B và D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; -2)$ nên $d = -2$.

Hàm số có 2 điểm cực trị. Ta kiểm tra đáp án A và C:

* Xét đáp án A: $y = -x^3 - 3x^2 - 2 \Rightarrow y' = -3x^2 - 6x = -3x(x+2)$. $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$.

Ta có bảng biến thiên:

x | -$\infty$ -2 0 +$\infty$

------------------------------------

y' | - 0 + 0 -

------------------------------------

y | +$\infty$ $\searrow$ -2 $\nearrow$ -2 $\searrow$ -\infty

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 0)$.

* Xét đáp án C: $y = -x^3 + 3x^2 - 2 \Rightarrow y' = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$. $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Ta có bảng biến thiên:

x | -$\infty$ 0 2 +$\infty$

------------------------------------

y' | - 0 + 0 -

------------------------------------

y | +$\infty$ $\searrow$ -2 $\nearrow$ 2 $\searrow$ -\infty

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$.

Vậy đáp án đúng là C.

Đặt $t = x + 2 \Rightarrow x = t - 2$. Khi đó $x \in [-4; -2)$ thì $t \in [-2; 0)$.
Ta có $y = - (t - 2) + 3 - \frac{1}{t} = -t + 5 - \frac{1}{t}$.
Xét hàm $f(t) = -t - \frac{1}{t} + 5$ trên $[-2; 0)$.
$f'(t) = -1 + \frac{1}{t^2}$.
$f'(t) = 0 \Leftrightarrow t^2 = 1 \Leftrightarrow t = \pm 1$.
Chỉ có $t = -1 \in [-2; 0)$.
Ta có:

• $f(-2) = 2 - \frac{1}{-2} + 5 = 7.5 = \frac{15}{2}$
• $f(-1) = 1 - \frac{1}{-1} + 5 = 7$
• Khi $t \to 0^-$ thì $f(t) \to +\infty$

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;0} \right)} f(t) = 4$ đạt tại $x = -4$. Giá trị nhỏ nhất của $y$ là 4.

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến khi và chỉ khi $f'(x) > 0$.

Dựa vào đồ thị, ta thấy $f'(x) > 0$ khi $x > 1$.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$.

Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{x + 2}}$, ta thực hiện phép chia đa thức:

$\frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{x + 2}} = -x + 6 + \frac{{ - 15}}{{x + 2}}$

Khi $x$ tiến tới $+\infty$ hoặc $-\infty$, thì $\frac{{ - 15}}{{x + 2}}$ tiến tới 0.

Vậy, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = -x + 6$.