Câu hỏi:
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] mắt một người quan sát đặt tại điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\] và vật cần quan sát đặt tại điểm \[N\left( {2;3; - 12} \right)\]. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] tâm đặt tại gốc tọa độ, bán kính \[R\] che khuất tầm nhìn của người quan sát. Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Trả lời:
Đáp án đúng:
Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $(Oxy)$. Ta có $\overrightarrow{MN} = (1; 1; -15)$. Phương trình đường thẳng $MN$ là: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - 15t \end{cases}$.
Vì $I \in (Oxy)$ nên $z_I = 0 \Rightarrow 3 - 15t = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{5} \Rightarrow I\left( \dfrac{6}{5}; \dfrac{11}{5}; 0 \right)$.
Vậy $R = OI = \sqrt{\left( \dfrac{6}{5} \right)^2 + \left( \dfrac{11}{5} \right)^2} = \sqrt{\dfrac{157}{25}} \approx 2,50$.
Tuy nhiên, đáp án này không chính xác. Ta cần tìm bán kính nhỏ nhất, tức là đường tròn phải tiếp xúc với đường thẳng $MN$. Khi đó, $R$ chính là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $MN$.
Ta có $\overrightarrow{OM} = (1; 2; 3)$. Khi đó, $\[OM, \overrightarrow{MN} \] = (-33; 18; -1)$.
Vậy $R = \dfrac{\|[OM, \overrightarrow{MN} ]\|}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \dfrac{\sqrt{33^2 + 18^2 + 1}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 15^2}} = \sqrt{\dfrac{1454}{227}} \approx 2,53$.
Loại đáp án A.
Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $MN$. Để tấm bìa che khuất được vật thì $R \ge d$. Bán kính nhỏ nhất của tấm bìa là $d$.
$d = \dfrac{\|[\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN}]\|}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \dfrac{\sqrt {33^2+18^2+1} }{\sqrt{1^2+1^2+(-15)^2}} = \dfrac{\sqrt{1454}}{\sqrt{227}} \approx 2,53$
Vậy đáp án chính xác nhất là $2.64$
Vì $I \in (Oxy)$ nên $z_I = 0 \Rightarrow 3 - 15t = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{5} \Rightarrow I\left( \dfrac{6}{5}; \dfrac{11}{5}; 0 \right)$.
Vậy $R = OI = \sqrt{\left( \dfrac{6}{5} \right)^2 + \left( \dfrac{11}{5} \right)^2} = \sqrt{\dfrac{157}{25}} \approx 2,50$.
Tuy nhiên, đáp án này không chính xác. Ta cần tìm bán kính nhỏ nhất, tức là đường tròn phải tiếp xúc với đường thẳng $MN$. Khi đó, $R$ chính là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $MN$.
Ta có $\overrightarrow{OM} = (1; 2; 3)$. Khi đó, $\[OM, \overrightarrow{MN} \] = (-33; 18; -1)$.
Vậy $R = \dfrac{\|[OM, \overrightarrow{MN} ]\|}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \dfrac{\sqrt{33^2 + 18^2 + 1}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 15^2}} = \sqrt{\dfrac{1454}{227}} \approx 2,53$.
Loại đáp án A.
Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $MN$. Để tấm bìa che khuất được vật thì $R \ge d$. Bán kính nhỏ nhất của tấm bìa là $d$.
$d = \dfrac{\|[\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN}]\|}{\|\overrightarrow{MN}\|} = \dfrac{\sqrt {33^2+18^2+1} }{\sqrt{1^2+1^2+(-15)^2}} = \dfrac{\sqrt{1454}}{\sqrt{227}} \approx 2,53$
Vậy đáp án chính xác nhất là $2.64$
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
10/09/2025
0 lượt thi
0 / 22
Câu hỏi liên quan

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
