Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm \[E\left( { - 1;4;2} \right)\] và \[F\left( { - 5\,;0\,;3} \right)\] là:

\[\frac{{x + 1}}{{ - 4}} = \frac{{y - 4}}{{ - 4}} = \frac{{z - 2}}{1}\].

\[\frac{{x + 4}}{{ - 1}} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 1}}{2}\].

\[\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{4} = \frac{{z + 1}}{2}\].

\[\frac{{x - 1}}{{ - 4}} = \frac{{y + 4}}{{ - 4}} = \frac{{z + 2}}{1}\].

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có $\overrightarrow{EF} = (-4, -4, 1)$. Vậy phương trình đường thẳng đi qua E và F là: $\frac{x+1}{-4} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z-2}{1}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ Đề thi thử TN THPT môn Toán có hướng dẫn giải - Đề số 8

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 9:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\rm{cos}}x + 1$ là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: $\int \cos x \, dx = \sin x + C$ $\int 1 \, dx = x + C$ Vậy $\int (\cos x + 1) \, dx = \sin x + x + C$.

Câu 10:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 1\] và \[{u_2} = - 3\]. Số hạng \[{u_4}\] của cấp số cộng đã cho là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $u_1 = 1$ và $u_2 = -3$.

Công sai của cấp số cộng là $d = u_2 - u_1 = -3 - 1 = -4$.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = u_1 + (n-1)d$.

Vậy, $u_4 = u_1 + (4-1)d = 1 + 3(-4) = 1 - 12 = -11$.

Câu 11:

Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} - 2025\]. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hàm số nghịch biến, ta cần tìm khoảng mà đạo hàm của hàm số nhỏ hơn 0.

Tính đạo hàm: $y' = 3x^2 - 6x$

Giải bất phương trình $y' < 0$: $3x^2 - 6x < 0 \Leftrightarrow 3x(x-2) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

Câu 12:

Cho tứ diện \[S.ABC\] có các cạnh \[SA,\,SB,\,SC\] đôi một vuông góc và \[SA = SB = SC = 1\] (minh họa như hình dưới). Gọi \[\alpha \] là góc phẳng nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\]. Tính \[\cos \alpha \]

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $BC$. Vì $SA=SB=SC=1$ và $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc nên tam giác $ABC$ đều cạnh $\sqrt{2}$.

$BC = \sqrt{2}$

$SH \perp BC$ (1)

$AH \perp BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SHA} = \alpha$.

Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ nên $SH = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Tam giác $ABC$ đều nên $AH = \frac{BC\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $SHA$:

$\cos \alpha = \frac{SH^2 + AH^2 - SA^2}{2SH.AH} = \frac{\frac{2}{4} + \frac{6}{4} - 1}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{12}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Cách khác: Tam giác $SHA$ vuông tại $S$ nên $\cos \alpha = \frac{SH}{AH} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Câu 13:

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Gọi \[M\left( {a;b} \right)\] là điểm thuộc đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\] và có khoảng cách từ \[M\] đến đường thẳng \[d:y = 3x + 6\] nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \[T = 6{a^2} + 7{b^2}.\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm điểm $M(a, b)$ trên đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x+2}$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d: y = 3x + 6$ là nhỏ nhất. Sau đó, tính giá trị của biểu thức $T = 6a^2 + 7b^2$.

* Bước 1: Tìm khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$.
Khoảng cách từ điểm $M(a, b)$ đến đường thẳng $d: 3x - y + 6 = 0$ được tính bởi công thức:
$d(M, d) = \frac{|3a - b + 6|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3a - b + 6|}{\sqrt{10}}$

* Bước 2: Thay $b = \frac{2a + 1}{a + 2}$ vào biểu thức khoảng cách.
$d(M, d) = \frac{|3a - \frac{2a + 1}{a + 2} + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{|3a(a + 2) - (2a + 1) + 6(a + 2)|}{\sqrt{10}|a + 2|} = \frac{|3a^2 + 6a - 2a - 1 + 6a + 12|}{\sqrt{10}|a + 2|} = \frac{|3a^2 + 10a + 11|}{\sqrt{10}|a + 2|}$

* Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách, ta có thể sử dụng đạo hàm hoặc các phương pháp khác để tìm cực trị của hàm số $f(a) = \frac{|3a^2 + 10a + 11|}{|a + 2|}$. Tuy nhiên, việc này khá phức tạp.
Một cách tiếp cận khác là tìm điểm $M$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ song song với đường thẳng $d$.

* Bước 4: Tìm điểm $M$ bằng phương pháp tiếp tuyến song song.
Đạo hàm của hàm số $y = \frac{2x + 1}{x + 2}$ là $y' = \frac{2(x + 2) - (2x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}$.
Để tiếp tuyến tại $M$ song song với $d$, ta cần $y'(a) = 3$, tức là $\frac{3}{(a + 2)^2} = 3$.
Suy ra $(a + 2)^2 = 1$, vậy $a + 2 = 1$ hoặc $a + 2 = -1$.
* Nếu $a = -1$, thì $b = \frac{2(-1) + 1}{-1 + 2} = -1$.
* Nếu $a = -3$, thì $b = \frac{2(-3) + 1}{-3 + 2} = \frac{-5}{-1} = 5$.

* Bước 5: Tính khoảng cách cho cả hai điểm và chọn điểm có khoảng cách nhỏ nhất.
* Với $M(-1, -1)$, khoảng cách là $d(M, d) = \frac{|3(-1) - (-1) + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{|-3 + 1 + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}$.
* Với $M(-3, 5)$, khoảng cách là $d(M, d) = \frac{|3(-3) - 5 + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{|-9 - 5 + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{8}{\sqrt{10}}$.
Vậy điểm $M(-1, -1)$ có khoảng cách nhỏ nhất.

* Bước 6: Tính giá trị của biểu thức $T = 6a^2 + 7b^2$.
$T = 6(-1)^2 + 7(-1)^2 = 6(1) + 7(1) = 6 + 7 = 13$.

Vậy $T = 13$.

Câu 14:

Thống kê thời gian tự học môn Toán của 400 học sinh lớp 12 trong một ngày ta được kết quả trong bảng ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	\[\left[ {0;20} \right)\]	\[\left[ {20;40} \right)\]	\[\left[ {40;60} \right)\]	\[\left[ {60;80} \right)\]	\[\left[ {80;100} \right)\]
Số học sinh	\[x\]	120	\[y\]	70	60

Biết rằng \[x,y\] là các số nguyên dương và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng \[\frac{{845}}{{21}}\]. Khi đó, thời gian tự học trung bình của 400 học sinh (tính theo mẫu số liệu ghép nhóm trên) là bao nhiêu phút?

Lời giải: