Câu hỏi:

• Biên độ của dao động 1 là 4 cm.
• Biên độ của dao động 2 là 4 cm.

Vậy, hai dao động có cùng biên độ A = 4 cm.
Đổi $x_2$ sang hàm sin:
$x_2 = 4\cos(10t - \frac{\pi}{2}) = 4\sin(10t - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = 4\sin(10t)$
Độ lệch pha giữa hai dao động:
$\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 0 - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$
Vậy, dao động (2) sớm pha hơn dao động (1) là $\frac{\pi}{4}$.

Khi động năng bằng thế năng, ta có: $W_t = W_d \Rightarrow \dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2}mv^2$.
Tổng năng lượng của con lắc là: $W = W_t + W_d = 2W_d = mv^2$.
Mặt khác, $W = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}m\omega^2A^2$.
Suy ra $mv^2 = \dfrac{1}{2}m\omega^2A^2 \Rightarrow A = \sqrt{\dfrac{2v^2}{\omega^2}} = \dfrac{v\sqrt{2}}{\omega} = \dfrac{0.6\sqrt{2}}{10} = 0.06\sqrt{2} m = 6\sqrt{2} cm$.
Ta có $W = \dfrac{1}{2} m v_{max}^2$ và $W = \dfrac{1}{2} k A^2 = \dfrac{1}{2} m \omega^2 A^2$. Khi động năng bằng thế năng thì $v = \frac{v_{max}}{\sqrt{2}}$, vậy $v_{max} = v \sqrt{2} = 0.6 \sqrt{2}$. Vậy $A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{0.6\sqrt{2}}{10} = 0.06 \sqrt{2} m = 6\sqrt{2} cm$.

Gọi $l$ là chiều dài ban đầu của dây treo. Chu kỳ dao động của con lắc đơn là $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.
Khi giảm chiều dài dây một lượng $\Delta l = 1,2 m$, chu kỳ dao động mới là $T' = 2\pi\sqrt{\frac{l - \Delta l}{g}}$.
Theo đề bài, $T' = \frac{T}{2}$. Suy ra:
$\frac{T'}{T} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{l - \Delta l}{l}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{l - \Delta l}{l} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4(l - \Delta l) = l \Leftrightarrow 4l - 4\Delta l = l \Leftrightarrow 3l = 4\Delta l \Leftrightarrow l = \frac{4}{3}\Delta l = \frac{4}{3}(1,2) = 1,6 \times 3 = 3.6 m$.
Vậy chiều dài dây treo là 1.6 x 3 = 3.6 m.

Gọi $v$ là vận tốc của vật, $v_{max}$ là vận tốc cực đại. Ta có $v = \frac{v_{max}}{2}$.
Động năng của vật là $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v_{max}}{2})^2 = \frac{1}{8}mv_{max}^2$.
Thế năng của vật là $U = E - K$, với $E$ là cơ năng toàn phần. Mà $E = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.
Do đó, $U = \frac{1}{2}mv_{max}^2 - \frac{1}{8}mv_{max}^2 = \frac{3}{8}mv_{max}^2$.
Vậy tỉ số giữa thế năng và động năng là $\frac{U}{K} = \frac{\frac{3}{8}mv_{max}^2}{\frac{1}{8}mv_{max}^2} = 3$.

Ta có: $\Delta l = 5 cm = 0.05 m$. $\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l}} = \sqrt{\frac{10}{0.05}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} rad/s$.
Vận tốc cực đại: $v_{max} = \omega A = 30\sqrt{2}$ cm/s. $\Rightarrow A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{30\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 3 cm$.
Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống. $x = -1 cm$ (do kéo vật xuống dưới VTCB 1 cm rồi truyền vận tốc hướng lên).
Áp dụng công thức độc lập thời gian: $A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}$ $\Rightarrow v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{3^2 - (-1)^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{8} = 10\sqrt{16} = 10*4 = 40 cm/s$ (Độ lớn vận tốc hướng lên).
Tuy nhiên, đây chưa phải là đáp án đúng. Bài toán cho vận tốc cực đại là $30\sqrt{2}$, nhưng lại hỏi vận tốc ban đầu. Ta có $v_{max} = \omega A$ $\rightarrow A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{30\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 3 (cm)$
Sử dụng công thức $x^2 + \frac{v^2}{\omega^2} = A^2$ $(-1)^2 + \frac{v_0^2}{(10\sqrt{2})^2} = 3^2$ $1 + \frac{v_0^2}{200} = 9$ $\frac{v_0^2}{200} = 8$ $v_0^2 = 1600$ $v_0 = 40 cm/s$ Nhưng đề bài lại hỏi vận tốc ban đầu khi kéo vật xuống 1cm rồi *truyền* cho nó vận tốc $v_0$ hướng lên. Vậy vận tốc này phải khác với $40cm/s$! Ta có $A^2 = x^2 + (\frac{v}{\omega})^2$, với $A=3$, $x=-1$, $\omega = 10\sqrt{2}$. $3^2 = (-1)^2 + (\frac{v}{10\sqrt{2}})^2 $ $9 = 1 + \frac{v^2}{200}$ $\frac{v^2}{200}=8$ $v^2 = 1600$ $v=40$. Bài toán sai, phải sửa vận tốc cực đại thành $50\sqrt{2}$ mới có đáp án đúng.
Ta có $v_{max} = 30\sqrt{2} cm/s$. $A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{30\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 3cm$. $v_0 = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{3^2 - (-1)^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{8} = 40cm/s$ -> SAI
Ta có: $\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l}} = \sqrt{\frac{10}{0.05}} = 10\sqrt{2} (rad/s)$ $A = 3 cm$ $v = 40 cm/s$ (khi đi qua vị trí có li độ $x = -1 cm$) Ta lại có $v_{max} = 30\sqrt{2}$ => có vẻ như đề sai?
Nếu v_{max} = 50\sqrt{2} cm/s, thì A = 5cm. Khi đó, $v_0 = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{5^2 - (-1)^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{24} = 10\sqrt{48} = 10 * 4\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ (không có đáp án).
Tuy nhiên, nếu mình chọn v = 50 cm/s thì có vẻ hợp lý? $A^2 = x^2 + (\frac{v}{\omega})^2$ $A^2 = (-1)^2 + (\frac{50}{10\sqrt{2}})^2 = 1 + (\frac{5}{\sqrt{2}})^2 = 1 + \frac{25}{2} = \frac{27}{2}$ $A = \sqrt{\frac{27}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$ -> Không hợp lý vì A phải lớn hơn x.
Lời giải đúng: $\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l}} = \sqrt{\frac{10}{0.05}} = 10\sqrt{2} (rad/s)$ $x = -1 cm$ $v_{max} = \omega A = 30\sqrt{2} \Rightarrow A = \frac{30\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 3 cm$ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{3^2 - (-1)^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{8} = 10 \sqrt{16} = 40 cm/s$ Sai đề.