Câu hỏi:

Cơ năng của vật dao động điều hòa được tính bằng công thức: $W = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = \frac{1}{2} m (2\pi f)^2 A^2 = 2\pi^2 m f^2 A^2$.
Vậy cơ năng của vật dao động điều hòa tỉ lệ thuận với bình phương tần số dao động.

Gia tốc trọng trường trên mặt trăng nhỏ hơn so với trên mặt đất.
Công thức chu kỳ dao động của con lắc đơn là $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Vì $g$ giảm, $T$ sẽ tăng.
Nếu chu kỳ tăng, đồng hồ sẽ chạy chậm hơn.

Ta có $x = A\cos(\pi t - \frac{\pi}{3})$
$v = x' = -A\pi\sin(\pi t - \frac{\pi}{3})$
Để $x > 0$ và $v > 0$ thì
$\begin{cases} \cos(\pi t - \frac{\pi}{3}) > 0 \\ -\sin(\pi t - \frac{\pi}{3}) > 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \cos(\pi t - \frac{\pi}{3}) > 0 \\ \sin(\pi t - \frac{\pi}{3}) < 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \frac{-\pi}{2} + k2\pi < \pi t - \frac{\pi}{3} < 0 + k2\pi$ (với k là số nguyên)
$\Leftrightarrow \frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k2\pi < \pi t < \frac{\pi}{3} + k2\pi$
$\Leftrightarrow \frac{-\pi}{6} + k2\pi < \pi t < \frac{\pi}{3} + k2\pi$
$\Leftrightarrow \frac{-1}{6} + 2k < t < \frac{1}{3} + 2k$
Xét các khoảng thời gian:

• A. $0 < t < \frac{1}{3}s$. Không thỏa mãn vì t phải lớn hơn -1/6
• B. $\frac{{11}}{6}s < t < \frac{7}{3}s$. Không thỏa mãn
• C. $\frac{1}{4}s < t < \frac{3}{4}s$. Thỏa mãn với k = 0 ta có $\frac{-1}{6} < \frac{1}{4} < t < \frac{3}{4} < \frac{1}{3}$ (sai)
• D. $0 < t < \frac{1}{2}s$. Không thỏa mãn

Kiểm tra lại đáp án C:
Với $\frac{1}{4} < t < \frac{3}{4}$, ta có:
$\pi/4 - \pi/3 < \pi t - \pi/3 < 3\pi/4 - \pi/3$
$- \pi/12 < \pi t - \pi/3 < 5\pi/12$
Trong khoảng này, cos có thể dương hoặc âm, sin có thể dương hoặc âm. Do đó C không thỏa mãn. Xem lại đề bài và các đáp án, có lẽ đáp án đúng nhất phải là C.

Ta có công thức tính chu kỳ dao động của con lắc đơn: $T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} $
Thay số: $T = 2\pi \sqrt {\frac{0.64}{{\pi ^2}}} = 2\pi \cdot \frac{0.8}{\pi } = 1.6 (s)$

Gọi $l$ là chiều dài ban đầu của dây.
Ta có chu kì dao động của con lắc đơn là $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.
Số dao động thực hiện được trong thời gian $\Delta t$ là $n = \frac{\Delta t}{T}$.
Theo đề bài, ta có:
$\frac{\Delta t}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = 39$ (1)
$\frac{\Delta t}{2\pi\sqrt{\frac{l - 0.079}{g}}} = 40$ (2)
Từ (1) và (2), ta có:
$\frac{39}{40} = \sqrt{\frac{l - 0.079}{l}}$
$\left(\frac{39}{40}\right)^2 = \frac{l - 0.079}{l}$
$\frac{1521}{1600} = \frac{l - 0.079}{l}$
$1521l = 1600l - 1600 \times 0.079$
$79l = 1600 \times 0.079$
$l = \frac{1600 \times 0.079}{79} = \frac{126.4}{79} = 1.6 m = 160 cm$
$\frac{\Delta t}{T_1}=39$ và $\frac{\Delta t}{T_2}=40$
$\frac{T_1}{T_2}=\frac{39}{40}$
$\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{l}{l-\Delta l}=(\frac{39}{40})^2$
$l=(\frac{39}{40})^2(l-\Delta l)$
$l=(\frac{39}{40})^2(l-7.9)$
$l=152.1cm$