Câu hỏi:

Xét hàm số $y=f(x) = x^3-3x^2-9x + 5$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

– Ta có $y' = 3x^2-6x-9$; $y'=0$ khi $x = -1$ hoặc $x = 3$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(-1;3)$. Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x=3$, $y_{CT}=-22$; đạt cực đại tại $x = -1$, $y_{CĐ}=10$. Do đó, ý b) sai.

– Với $x=0$ thì $y=5$; với $x=1$ thì $y=-6$; với $x = -1$ thì $y=10$.

Do đó, đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm $(0;5)$, $(1;-6)$, $(-1;10)$.

Do đó, ý c) sai.

– Từ bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng $y=-22$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. Do đó, ý d) sai.

– Ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$ nên ý a) sai.

– Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Khi đó, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$; $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$.

Vậy ý b) đúng.

$\begin{cases} \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO} \\ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO} \end{cases}$, do đó $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}$ nên ý c) đúng.

– Ta có

$\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + (\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OD}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} + (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} = \vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} = 4\overrightarrow{OG}$.

Vậy ý d) sai.

– Ta có: $\overrightarrow{B'B} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D}$. Do đó, ý a) đúng.

– Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BD'} \neq \overrightarrow{BD}$. Vậy ý b) sai.

– Ta có: $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{C'A} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C'A} = \overrightarrow{C'A} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C'C}$.

Do đó, $|\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{C'A}| = |\overrightarrow{CC'}| = CC' = a$. Vậy ý c) sai.

– 

Vì AC' là đường chéo của hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng $a$ nên $AC' = a\sqrt{3}$.

Ta có: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.

Suy ra $MN^2 = (\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD})^2$

$= \overrightarrow{AB}^2 + \frac{1}{4}\overrightarrow{BB'}^2 + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BB'} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} \cdot \overrightarrow{AD}$

$= a^2 + \frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}a^2 + 0 - 0 - 0 = \frac{3}{2}a^2$.

Do đó, $|\overrightarrow{MN}|^2 = MN^2 = \frac{3}{2}a^2$, suy ra $|\overrightarrow{MN}| = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$.

Khi đó, $\overrightarrow{AC'} \cdot \overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) \cdot (\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD})$

$= \overrightarrow{AB}^2 + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{BB'}$

$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AD}$

$= AB^2 - \frac{1}{2}AD^2 + \frac{1}{2}AA' \cdot BB'$

$= a^2 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}a^2 = a^2$.

Vậy $\cos(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{AC'}) = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC'}}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{AC'}|} = \frac{a^2}{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$. Do đó, ý d) đúng.

Xét hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ với $a \ne 0$.

Ta có $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.

Để hàm số có cực trị thì $y' = 0$ phải có nghiệm phân biệt.

Điều kiện để $y' = 0$ có nghiệm phân biệt là $\Delta' > 0$.

Ta có $\Delta' = b^2 - 3ac > 0$ (theo giả thiết).

Vậy $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt, suy ra hàm số có hai điểm cực trị.

Với mọi $x \in [2; 5]$, ta có: $f'(x) = \frac{m}{2\sqrt{x-1}}$

Ta thấy dấu của đạo hàm $f'(x)$ phụ thuộc vào dấu của tham số $m$.

Với mọi $m \neq 0$ thì $f(x)$ đơn điệu trên $[2; 5]$.

Suy ra $\min_{[2; 5]}f(x) + \max_{[2; 5]}f(x) = f(2) + f(5) = m + 2m = 3m$.

Theo bài ra, ta có: $m^2 - 10 = 3m \Leftrightarrow m^2 - 3m - 10 = 0 \Leftrightarrow m = -2$ hoặc $m = 5$.

Vậy $m_1 + m_2 = 3$.

Đáp số: 3.