Một tháp nước hình nón lật ngược có bán kính đáy là 2m và chiều cao là 4m. Nếu bơm nước vào tháp cứ mỗi phút bơm được\(2{{m}^{3}}\), hãy tìm tốc độ mực nước đang dâng lên khi mực nước cao 3m.

Ta có \(MI=5\) nên \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\), bán kính \(R=5\).

\(d\left( I\,,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-1.2+2.\left( -4 \right)-10 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=6>R\).

Ta thấy \(A\in (P)\) có VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2\,;\,-1\,;\,2 \right)\) và \(\overrightarrow{IA}=\left( 1\,;\,-2\,;\,7 \right)\).

\(IA=\sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3+4 \right)}^{2}}}=3\sqrt{6}\).

\(\sin \alpha =\sin \left( IA\ ,\ \left( P \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{IA}\,,\,\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{IA} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}=\frac{\left| 2.1+1.2+2.7 \right|}{3\sqrt{6}.3}=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)

Diện tích \(\Delta IAN\):

\(\begin{align}  & {{S}_{\Delta IAN}}=\frac{1}{2}.IA.AN.\sin \left( \widehat{IAN} \right)=18\sqrt{2} \\  & \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3\sqrt{6}.AN.\sin \left( \widehat{IAN} \right)=18\sqrt{2} \\  & \Rightarrow AN.\sin \left( \widehat{IAN} \right)=4\sqrt{3}. \\ \end{align}\)

\(\begin{align}& \sin \alpha \leq \sin (\widehat{\mathrm{IAN}}) \leq \sin 90^{\circ}=1 \\& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AN} \cdot \sin (\widehat{\mathrm{IAN}}) \geq \mathrm{AN} \cdot \sin \alpha \\\mathrm{AN} \cdot \sin (\widehat{\mathrm{IAN}}) \leq \mathrm{AN}\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AN} \leq \frac{4 \sqrt{3}}{\sin \alpha}=6 \sqrt{2} \\\mathrm{AN} \geq 4 \sqrt{3}\end{array}\right.\end{align}\)

Gọi \(H\) là điểm hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi d là đường thẳng qua \(I\left( 1;2;-4 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên d có VTCP \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2\,;\,-1\,;\,2 \right)\).

\(d:\left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\  & y=2-t \\  & z=-4+2t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\), \(H\in d\Rightarrow H\left( 1+2t\,;\,2-t\,;\,-4+2t \right)\).

Mà \(H\in \left( P \right)\).

\(\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)-\left( 2-t \right)+2\left( -4+2t \right)-10=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow H\left( 5\,;\,0\,;\,0 \right)\).

Ta có \(AH=\sqrt{{{\left( 5-2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}=3\sqrt{2}\) và \(IH=d\left( I\,;\,\left( P \right) \right)=6\).

Xét \(\Delta HAN\) có \(HN\le HA+AN\le 3\sqrt{2}+6\sqrt{2}=9\sqrt{2}\).

Dấu \(''=''\) xảy ra khi \(H,\,A,\,N\) thẳng hàng và \(A\) nằm giữa \(H\) và \(N\) \(\left( 1 \right)\).

Xét \(\Delta IHN\) vuông tại \(H\) có:

\(IN=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}\le \sqrt{{{6}^{2}}+{{\left( 9\sqrt{2} \right)}^{2}}}=3\sqrt{22}\).

Xét \(\Delta MIN\) có \(MN\le MI+IN=R+IN=5+3\sqrt{22}\).

Dấu \(''=''\) xảy ra khi \(M,\ I,\ N\) thẳng hàng và \(I\) nằm giữa \(M\) và \(N\) \((2)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(M,\,N\in \left( IHA \right)\).

Vậy giá trị lớn nhất của đoạn \(MN=5+3\sqrt{22}\simeq 19,1\).

Chọn hệ trục Oxy có \(O\equiv A\); \(B\in Ox\); \(D\in Oy\).

Ta có: \(A\left( 0;0 \right)\); \(D\left( 0;2 \right)\); \(B\left( 3;0 \right)\); \(E\left( 1;1 \right)\).

Đường tròn tâm \(I\left( 0;1 \right)\) chứa cung \(ED\) có phương trình là:

\({{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1\).

Nên cung trên của đường tròn tâm \(I\) là: \(y=1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\).

Thể tích của vật thể trang trí là:

\(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( 1+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}dx}+\pi \int\limits_{1}^{3}{{{1}^{2}}dx}\approx 16,5(c{{m}^{3}})\).

Gọi \(X\) là biến cố "Khách hàng dùng sản phẩm \(X\)" \(\Rightarrow P\left( X \right)=0,225\).

Gọi \(Y\) là biến cố: "Khách hàng dùng sản phẩm \(Y\)" \(\Rightarrow P\left( Y \right)=0,5\).

Ta có: \(P\left( XY \right)=P\left( Y \right).P\left( X\mid Y \right)=0,5\cdot 0,365=0,1825\) (1).

Ta có: \(XY+\overline{X}Y=Y\) nên

\(P\left( \overline{X}Y \right)=P\left( Y \right)-P\left( XY \right)=0,5-0,1825=0,3175\).

Theo công thức xác suất có điều kiện:

\(P\left( Y\mid \overline{X} \right)=\frac{P\left( \overline{X}Y \right)}{P\left( \overline{X} \right)}=\frac{0,3175}{0,775}\approx 0,41\).

Theo giả thiết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a\,;\,b \right]\) nên ta có \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}}x=F\left( x \right)\left| _{a}^{b}=F\left( b \right)-F\left( a \right) \right.\).

Theo tính chất của tích phân, ta có:

\(\begin{align}  \int\limits_{0}^{1}{\left( 2024x+2025 \right)\text{d}x}&=\int\limits_{0}^{1}{2024x\text{d}x+\int\limits_{0}^{1}{2025}\text{d}x} \\  & =\left( \frac{2024{{x}^{2}}}{2}+2025x \right)\left| \begin{matrix}   ^{1}  \\   _{0}  \\\end{matrix} \right. \\  & =\left( \frac{{{2024.1}^{2}}}{2}+2025.1 \right)-\left( \frac{{{2024.0}^{2}}}{2}+2025.0 \right) \\  & =3037. \\ \end{align}\)