Câu hỏi:

Ta có: $-1 \le \sin x \le 1$ với mọi $x$.

Nhân cả ba vế với -3, ta được: $3 \ge -3\sin x \ge -3$ hay $-3 \le -3\sin x \le 3$.

Cộng cả ba vế với 5, ta được: $5 - 3 \le 5 - 3\sin x \le 5 + 3$ hay $2 \le y \le 8$.

Vậy tập giá trị của hàm số là $T = [2; 8]$.

Phương trình $\tan x = \tan \alpha$ có nghiệm là $x = \alpha + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.
Vậy, nghiệm của phương trình $\tan x = \tan \frac{\pi }{{11}}$ là $x = \frac{\pi }{{11}} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Ta có $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$

Ta có phương trình $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1$ tương đương với $x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.
Suy ra $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$.
Ta cần tìm số giá trị của $k$ sao cho $\pi \le x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi$.
Điều này tương đương với $\pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi$.
Chia cả ba vế cho $\pi$, ta được $1 \le \frac{1}{4} + 2k \le 2$.
Trừ $\frac{1}{4}$ cho cả ba vế, ta được $\frac{3}{4} \le 2k \le \frac{7}{4}$.
Chia cả ba vế cho 2, ta được $\frac{3}{8} \le k \le \frac{7}{8}$.
Vì $k \in \mathbb{Z}$, suy ra $k = 0$ không thỏa mãn.
Do đó, chỉ có $k=0$ thỏa mãn điều kiện $\frac{3}{8} \le k \le \frac{7}{8}$ là không chính xác. Giá trị k duy nhất thỏa mãn là k = 0 thì $x = \frac{\pi}{4}$, do đó giá trị k = 1 thì $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} > 2\pi$ (loại). Vậy ta giải lại điều kiện $\pi \le x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi$
$\iff \pi \le \frac{\pi }{4} + 2k\pi \le 2\pi $
$\iff 1 \le \frac{1}{4} + 2k \le 2 $
$\iff \frac{3}{4} \le 2k \le \frac{7}{4} $
$\iff \frac{3}{8} \le k \le \frac{7}{8} $
Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k$ không có giá trị nào thỏa mãn.
Vậy số nghiệm của phương trình trên đoạn $\left[ {\pi ;2\pi } \right]$ là 0.

Ta có $\cot 3x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \cot \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$.
Suy ra $3x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$.