Câu hỏi:

Điều kiện để phương trình $\sqrt{3x-1} = x^2 - 1$ có nghĩa là:

• Biểu thức dưới căn phải không âm: $3x - 1 \geq 0$
• Suy ra: $3x \geq 1$
• Vậy: $x \geq \frac{1}{3}$

Gọi V, T, S lần lượt là tập hợp các học sinh thích Văn, Toán, Sử.
Gọi $n(X)$ là số phần tử của tập $X$.
Ta có: $n(V) = 25$, $n(T) = 20$, $n(S) = 18$.
Số học sinh không thích môn nào là 6, suy ra số học sinh thích ít nhất một môn là $45 - 6 = 39$.
Theo đề bài, ta có: $n(V \cap T \cap S) = 5$, $n(T \cap S) = 6$, $n(V \cap T) = 8$.
Áp dụng công thức:
$n(V \cup T \cup S) = n(V) + n(T) + n(S) - n(V \cap T) - n(V \cap S) - n(T \cap S) + n(V \cap T \cap S)$
$39 = 25 + 20 + 18 - 8 - n(V \cap S) - 6 + 5$
$39 = 54 - n(V \cap S)$
$n(V \cap S) = 54 - 39 = 15$
Số học sinh thích cả Văn và Sử là 12

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB.AC.\cos A = 3^2 + 6^2 - 2.3.6.\cos 60^\circ = 9 + 36 - 18 = 27$ $\Rightarrow BC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
Áp dụng định lý sin, ta có: $\frac{BC}{\sin A} = 2R \Rightarrow R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3$ Vậy $R=3$.

Công thức tính diện tích tam giác ABC đúng là $S_{ABC} = \frac{abc}{4R}$, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Các công thức diện tích tam giác khác:

• $S = \frac{1}{2}bc \sin A$
• $S = pr$ (p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp)
• $S = \frac{1}{2} a h_a$ ($h_a$ là đường cao ứng với cạnh a)

Ta có:
$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \dots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$
$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \frac{1}{2} + \cos 160^\circ + (-1)$
$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$
$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \frac{1}{2} + \cos (180^\circ - 20^\circ) + (-1)$
$S = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$
Nhân cả hai vế cho $2\sin 10^\circ$:
$2\sin 10^\circ S = 2\sin 10^\circ \cos 20^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 40^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 60^\circ + ... + 2\sin 10^\circ \cos 160^\circ + 2\sin 10^\circ \cos 180^\circ$
Sử dụng công thức $2\sin a \cos b = \sin(a+b) + \sin(a-b)$:
$2\sin 10^\circ S = (\sin 30^\circ - \sin 10^\circ) + (\sin 50^\circ - \sin 30^\circ) + (\sin 70^\circ - \sin 50^\circ) + ... + (\sin 170^\circ - \sin 150^\circ) + (\sin 190^\circ - \sin 170^\circ)$
$2\sin 10^\circ S = -\sin 10^\circ + \sin 190^\circ = -\sin 10^\circ - \sin 10^\circ = -2\sin 10^\circ$
$S = -1$
Hoặc có thể giải nhanh bằng:
$\cos(x) + \cos(x+d) + \cos(x+2d) + ... + \cos(x + (n-1)d) = \frac{\sin(\frac{nd}{2})}{\sin(\frac{d}{2})}\cos(x + \frac{(n-1)d}{2})$
Trong trường hợp này: $x = 20^\circ, d = 20^\circ, n = 9$
$S = \frac{\sin(\frac{9 \cdot 20^\circ}{2})}{\sin(\frac{20^\circ}{2})}\cos(20^\circ + \frac{8 \cdot 20^\circ}{2}) = \frac{\sin(90^\circ)}{\sin(10^\circ)}\cos(100^\circ) = \frac{\cos(100^\circ)}{\sin(10^\circ)} = \frac{-\sin(10^\circ)}{\sin(10^\circ)} = -1$