Câu hỏi:

Tam giác ABC có $A B = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, B C = \sqrt{3}, C A = \sqrt{2}$ . Gọi D là chân đường phân giác trong góc . Khi đó góc bằng bao nhiêu độ?

A. $45 °;$

B. $60 °;$

C. $75 °;$

D. $90 °;$

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có:

$AB = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$
$BC = \sqrt{3}$
$CA = \sqrt{2}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC: $\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{4} + 2 - 3}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})\sqrt{2}} = \frac{\frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} - 1}{\sqrt{12} - 2} = \frac{2 - \sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3} - 2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - 1)} = -\frac{1}{2}$
Suy ra $\widehat{BAC} = 120^\circ$.
Vì AD là đường phân giác của góc A nên $\widehat{BAD} = \frac{1}{2} \widehat{BAC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.
Ta có $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
$\widehat{ADB} = 75^\circ$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

20+ Câu hỏi trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ (Có phân tích chi tiết)

18/09/2025

0 lượt thi

0 / 30

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 16:

Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM}$.
Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Do đó, $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC}$.

Câu 17:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây sai?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

M, N là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$
P, Q là trung điểm của CD, DA nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC. Suy ra $\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$
Vậy $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$ và $\left| \overrightarrow{MN} \right| = \left| \overrightarrow{QP} \right|$ và $\left| \overrightarrow{MN} \right| = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AC} \right|$.
Vậy đáp án D sai.

Câu 18:

Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GFC bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi S là diện tích tam giác ABC. Vì AB = AC = 30cm và tam giác ABC vuông tại A nên $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.30.30 = 450 \text{ cm}^2$.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên CG = $\frac{2}{3}$CE. Suy ra diện tích tam giác AGC = $\frac{2}{3}$ diện tích tam giác ACE.
Mà diện tích tam giác ACE = $\frac{1}{2}$ diện tích tam giác ABC (vì E là trung điểm AB).
Do đó diện tích tam giác AGC = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.S = \frac{1}{3}S$.
Tương tự, diện tích tam giác BGC = $\frac{1}{3}S$.
Suy ra diện tích tam giác AGB = $S - \frac{1}{3}S - \frac{1}{3}S = \frac{1}{3}S$.
Vì F là trung điểm BC nên diện tích tam giác GFC = $\frac{1}{2}$ diện tích tam giác BGC = $\frac{1}{2}.\frac{1}{3}S = \frac{1}{6}S = \frac{1}{6}.450 = 75 \text{ cm}^2$.

Câu 19:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $|\vec{A B} + \vec{A C}| .$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}$.
Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên $AM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Do đó, $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{AM}| = 2AM = 2.\frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Câu 20:

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính

\vec{A B}

theo

\vec{A M}

và

\vec{B C}

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MC}$ và $\overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Câu 21:

Cho góc $\hat{x O y} = 30 °$ . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

Lời giải: