JavaScript is required

Câu hỏi:

Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòng kì vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015. Nền sân là một elip \[\left( E \right)\] có trục lớn dài 150 m, trục bé dài 90 m. Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớp của \[\left( E \right)\] và cắt elip tại M, N thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I (phần tô đậm) với MN là một dây cung và góc \[\widehat {MIN} = 90^\circ \]. Để lắp máy điều hòa không khí thì các kĩ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là 200 BTU/\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50 000 BTU?

Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50 000 BTU? (ảnh 1)

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $a,b$ lần lượt là độ dài bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip. Ta có $a = \frac{150}{2} = 75$ và $b = \frac{90}{2} = 45$.
Phương trình chính tắc của elip $(E)$ là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{75^2} + \frac{y^2}{45^2} = 1$.
$\Rightarrow y^2 = 45^2\left(1 - \frac{x^2}{75^2}\right)$.
Vì $\widehat{MIN} = 90^\circ$ nên bán kính $R$ của đường tròn thiết diện là $R = \frac{MN}{\sqrt{2}} = \frac{2y}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}y$.
Diện tích thiết diện là $S = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4}\pi \left( \sqrt{2}y \right)^2 = \frac{1}{2}\pi y^2 = \frac{1}{2}\pi .45^2\left(1 - \frac{x^2}{75^2}\right)$.
Thể tích phần không gian bên dưới mái che là:
$V = \int_{-75}^{75} Sdx = \int_{-75}^{75} {\frac{1}{2}\pi .45^2\left(1 - \frac{x^2}{75^2}\right)dx} = 2\int_0^{75} {\frac{1}{2}\pi .45^2\left(1 - \frac{x^2}{75^2}\right)dx} $
$ = \pi .45^2\left( {x - \frac{{{x^3}}}{{3.75^2}}}} \right)\left| {\matrix{{75} \cr 0 \cr}} \right. = \pi .45^2\left( {75 - \frac{{75}}{3}} \right) = 760357,503{m^3}$.
Công suất điều hòa cần thiết để làm mát lượng không khí là: $760357,503.\,200 = 152071500,6{\rm{BTU}}$.
Số lượng điều hòa cần dùng là: $\frac{152071500,6}{50000} = 3041,43$ (chiếc).
Vậy cần ít nhất 3042 chiếc điều hòa.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan