Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm \(O\). Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh \(O\) và đối xứng nhau qua \(O\). Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4 m (như hình vẽ). Phần diện tích \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({{S}_{3}},{{S}_{4}}\) dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng \(/{{\text{m}}^{2}}\), kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng \(/{{\text{m}}^{2}}\). Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Đơn vị tính nghìn đồng) chục nghìn).

Theo đề bài, vận tốc của cá khi bơi trên sông là \(v-6\), khi đó thời gian để cá bơi đến nơi sinh sản là \(t=\frac{300}{v-6}\).

Khi đó, \(E\left( v \right)=c{{v}^{3}}\frac{300}{v-6}\) với \(v>6\). Đặt \(x=v-6\).

Bài năng lượng tiêu hao của cá được tính bởi hàm số:

\(f\left( x \right)=300c\frac{{{(x+6)}^{3}}}{x}=300c\left( {{x}^{2}}+18x+108+\frac{216}{x} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\) với \(x>0\).

Ta có:

\({f}'\left( x \right)=300c\left( 2x+18-\frac{216}{{{x}^{2}}} \right)=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+18{{x}^{2}}-216=0\Rightarrow x=3\).

Bảng biến thiên:

Vậy \(\underset{x\in \left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\text{min}}}\,f\left( x \right)=f\left( 3 \right)\) hay khi vận tốc của cá khi nước đứng yên là \(v=9\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}\) thì cá ít tốn năng lượng nhất.

Gọi \({{B}_{1}}\) là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại I", \({{B}_{2}}\) là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại II", \(A\) là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất có kết quả tốt".

Ta có: \(P\left( {{B}_{1}} \right)=\frac{4}{10}\); \(P\left( {{B}_{2}} \right)=\frac{6}{10}\); \(P\left( A|{{B}_{1}} \right)=0,9\); \(P\left( A|{{B}_{2}} \right)=0,5\).

Theo công thức xác suất đầy đủ:

\(P\left( A \right)=P\left( {{B}_{1}} \right)P\left( A\mid {{B}_{1}} \right)+P\left( {{B}_{2}} \right)P\left( A\mid {{B}_{2}} \right)=\frac{4}{10}\times 0,9+\frac{6}{10}\times 0,5=0,66.\)Khi đó ta cần tính xác suất \(P\left( {{B}_{1}}\mid A \right)\), theo công thức Bayes:

\(P\left( {{B}_{1}}\mid A \right)=\frac{P\left( {{B}_{1}} \right)P\left( A\mid {{B}_{1}} \right)}{P\left( A \right)}=\frac{\frac{4}{10}\times 0,9}{0,66}=\frac{6}{11}\approx 0,55\).

Ta có \(\int{\left( {{x}^{2}}+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{x}+C\).

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là:

\(V=\pi \int_{0}^{2}{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{2}}}dx\).

• Cỡ mẫu: \(n=20\).

• Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline{x}=\frac{2,85\cdot 3+3,15\cdot 6+3,45.5+3,75.4+4,05.2}{20}=3,39\).

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {{S}^{2}} & =\frac{1}{20}\left( 2,{{85}^{2}}\cdot 3+3,{{15}^{2}}\cdot 6+3,{{45}^{2}}\cdot 5+3,{{75}^{2}}\cdot 4+4,{{05}^{2}}\cdot 2 \right)-3,{{39}^{2}}  \\    {} & \approx 0,13.  \\ \end{array}\)