Câu hỏi:

Bài toán này yêu cầu tìm biên độ dao động của chất điểm. Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa: $A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}$ và $a = -\omega^2 x$, suy ra $x = -\frac{a}{\omega^2}$. Khi vật ở vị trí cân bằng, vận tốc là cực đại: $v_{max} = A\omega = 20$ cm/s. (1) Khi vật có vận tốc 10 cm/s, gia tốc là $40\sqrt{3}$ cm/s$^2$. Ta có: $v^2 + \frac{a^2}{\omega^2} = A^2\omega^2 \Rightarrow 10^2 + \frac{(40\sqrt{3})^2}{\omega^2} = 20^2$ (2) Từ (2) ta có: $\frac{1600 * 3}{\omega^2} = 400 - 100 = 300 \Rightarrow \omega^2 = \frac{4800}{300} = 16 \Rightarrow \omega = 4$ rad/s. Thay vào (1): $A * 4 = 20 \Rightarrow A = 5$ cm. Vì không có đáp án nên ta chọn "None".

Phương trình dao động: $x = 4\cos\left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)$ cm.
Tại thời điểm $t_1$, $x_1 = 2\sqrt{3}$ cm và vật đang giảm (v>0).
Ta có $\cos\left( {\frac{{\pi t_1}}{6}} \right) = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì vật đang giảm nên $\frac{{\pi t_1}}{6} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$ (lấy nghiệm âm vì đang giảm) hoặc $\frac{{\pi t_1}}{6} = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ (loại vì vật đang giảm). Vậy, $\frac{{\pi t_1}}{6} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$.
Tại thời điểm $t_2 = t_1 + 3$, ta có:
$x_2 = 4\cos\left( {\frac{{\pi (t_1 + 3)}}{6}} \right) = 4\cos\left( {\frac{{\pi t_1}}{6} + \frac{\pi}{2}} \right) = 4\cos\left( {-\frac{\pi}{6} + k2\pi + \frac{\pi}{2}} \right) = 4\cos\left( {\frac{\pi}{3} + k2\pi} \right) = 4\cos\left( {\frac{\pi}{3}} \right) = 4.\frac{1}{2} = 2$ cm.

Ta có công thức chu kỳ dao động của con lắc lò xo là $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Từ đề bài, ta có $T_1 = 2s$ khi $m_1 = 200g$ và $T_2 = 1s$ khi $m = m_2$.
Ta có $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \Rightarrow \frac{2}{1} = \sqrt{\frac{200}{m_2}} \Rightarrow 4 = \frac{200}{m_2} \Rightarrow m_2 = \frac{200}{4} = 50g$.

Độ dãn của lò xo khi treo vật là $\Delta l = 2,5 \, cm = 0,025 \, m$.
Ta có: $k = \frac{mg}{\Delta l} = \frac{0,25 \times 10}{0,025} = 100 \, N/m$.
Chu kì dao động của con lắc lò xo là:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,25}{100}} = 2\pi \times 0,05 \approx 0,314 \, s$.
Giá trị gần nhất là 0,25 s (do đề bài có thể đã lấy $\pi^2 = 10$). Nếu sử dụng $T = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.025}{10}} = 2\pi \sqrt{0.0025} = 2\pi (0.05) = 0.314s$ và làm tròn, ta được 0.31s. Tuy nhiên, theo các đáp án cho sẵn, đáp án chính xác nhất phải là 0.31s.

Ta có công thức tính cơ năng của con lắc lò xo: $W = \frac{1}{2}kA^2$.
Động năng của con lắc tại vị trí có li độ x là: $W_đ = W - W_t = W - \frac{1}{2}kx^2 = W - W \frac{x^2}{A^2} = W(1 - \frac{x^2}{A^2})$.
Thay số: $W_đ = 0.9(1 - \frac{(-5)^2}{15^2}) = 0.9(1 - \frac{25}{225}) = 0.9(1 - \frac{1}{9}) = 0.9(\frac{8}{9}) = 0.8 J$.