Câu hỏi:

Ta có công thức tính cơ năng của con lắc lò xo: $W = \frac{1}{2}kA^2$.
Động năng của con lắc tại vị trí có li độ x là: $W_đ = W - W_t = W - \frac{1}{2}kx^2 = W - W \frac{x^2}{A^2} = W(1 - \frac{x^2}{A^2})$.
Thay số: $W_đ = 0.9(1 - \frac{(-5)^2}{15^2}) = 0.9(1 - \frac{25}{225}) = 0.9(1 - \frac{1}{9}) = 0.9(\frac{8}{9}) = 0.8 J$.

Gọi $l$ là chiều dài dây treo của con lắc đơn.
Ta có biên độ dài $S_0 = \alpha_0 l = 0,1l$.
Tại thời điểm ban đầu, vật có li độ dài $s = 8$ cm và vận tốc $v = 20\sqrt{3}$ cm/s.
Ta có công thức độc lập với thời gian:
$\dfrac{v^2}{v_{max}^2} + \dfrac{s^2}{S_0^2} = 1$
$\Rightarrow v_{max}^2 = \dfrac{v^2}{1 - \dfrac{s^2}{S_0^2}}$
$\Rightarrow v_{max}^2 = \dfrac{(20\sqrt{3})^2}{1 - \dfrac{8^2}{(0,1l)^2}}$ (1)
Mặt khác, ta có: $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}} = \sqrt{\dfrac{10}{l}}$ (rad/s)
$v_{max} = \omega S_0 = \sqrt{\dfrac{10}{l}} * 0,1l = 0,1\sqrt{10l}$
$v_{max}^2 = 0,01 * 10l = 0,1l$ (2)
Từ (1) và (2), ta có:
$0,1l = \dfrac{1200}{1 - \dfrac{64}{(0,1l)^2}}$
$0,1l - \dfrac{64 * 0,1l}{(0,1l)^2} = 1200$
$0,1l - \dfrac{6,4 l}{0,01 l^2} = 1200$
Đặt $x = 0,1l$, ta có:
$x - \dfrac{6,4}{x} = 1200$
$x^2 - 1200x - 6,4 = 0$
$\Delta' = 600^2 + 6,4 = 360006,4$
$x = 600 + \sqrt{360006,4} \approx 1200,0053$
$v_{max}^2 = 0,1l = x \approx 1200,0053 \Rightarrow v_{max} \approx \sqrt{1200,0053} = 34,64$ cm/s = $0,3464$ m/s.
Giải lại:
Ta có: $S_0 = l \alpha_0 = 0.1 l$.
$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$
$v_{max} = S_0 \omega = 0.1 l \sqrt{\dfrac{g}{l}} = 0.1 \sqrt{gl} = 0.1 \sqrt{10l}$
$\dfrac{v^2}{v_{max}^2} + \dfrac{s^2}{S_0^2} = 1$
$\dfrac{(0.2\sqrt{3})^2}{v_{max}^2} + \dfrac{0.08^2}{(0.1l)^2} = 1$
$\dfrac{0.12}{v_{max}^2} = 1 - \dfrac{0.0064}{0.01l^2} = 1 - \dfrac{0.64}{l^2}$
$\dfrac{0.12}{0.01 * 10l} = 1 - \dfrac{0.64}{l^2}$
$\dfrac{1.2}{l} = 1 - \dfrac{0.64}{l^2}$
$1.2l = l^2 - 0.64$
$l^2 - 1.2l - 0.64 = 0$
$\Delta = 1.2^2 + 4 * 0.64 = 1.44 + 2.56 = 4$
$l = \dfrac{1.2 + 2}{2} = 1.6$
$v_{max} = 0.1 \sqrt{10 * 1.6} = 0.1 \sqrt{16} = 0.1 * 4 = 0.4$ (m/s)

$\ell$ là chiều dài dây treo của con lắc đơn và ${\alpha _0}$ là biên độ góc (tính bằng radian).
Biên độ dài $s_0$ của dao động được tính bằng công thức: $s_0 = \ell \alpha_0$.
Vậy, tích số $\ell {\alpha _0}$ là biên độ cong của dao động.

Phương trình vận tốc của vật dao động điều hòa có dạng: $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$.
Hoặc $v = v_0 \cos(\omega t + \varphi)$ với $v_0 = \omega A$.
Suy ra biên độ $A = \frac{v_0}{\omega}$.

Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian.

• Cơ năng của vật tỉ lệ với bình phương biên độ ($E = \frac{1}{2} k A^2$), nên khi biên độ giảm thì cơ năng cũng giảm.
• Li độ, vận tốc, và gia tốc biến thiên tuần hoàn hoặc điều hòa, có thể tăng hoặc giảm trong từng khoảng thời gian.

Vậy, biên độ và cơ năng là hai đại lượng giảm liên tục theo thời gian trong dao động tắt dần.