Câu hỏi:

Đề bài yêu cầu tính động năng của con lắc lò xo khi biết độ cứng $k$, biên độ $A$, và li độ $x$. Ta có công thức tính cơ năng của con lắc lò xo: $E = \frac{1}{2}kA^2$. Công thức tính thế năng của con lắc lò xo tại vị trí có li độ $x$: $U = \frac{1}{2}kx^2$. Động năng $K$ của con lắc lò xo tại vị trí có li độ $x$ được tính bằng hiệu giữa cơ năng và thế năng: $K = E - U = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$. Thay số: $k = 80$ N/m, $A = 10$ cm $= 0.1$ m, $x = 2$ cm $= 0.02$ m, ta có: $K = \frac{1}{2} * 80 * (0.1^2 - 0.02^2) = 40 * (0.01 - 0.0004) = 40 * 0.0096 = 0.384$ J. Vậy động năng của vật là 0.384 J.

Ta có:
- Chiều dài dây treo: $l = 39,2 \text{ cm} = 0,392 \text{ m}$
- Gia tốc trọng trường: $g = 9,8 \text{ m/s}^2$
- Biên độ góc: $\alpha_0 = 0,05 \text{ rad}$
- Vận tốc: $v = 2,4 \text{ cm/s} = 0,024 \text{ m/s}$

- Tần số góc của con lắc đơn là: $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9,8}{0,392}} = 5 \text{ rad/s}$
- Vận tốc cực đại của con lắc là: $v_{max} = \omega . S_0 = \omega . l . \alpha_0 = 5 . 0,392 . 0,05 = 0,098 \text{ m/s} = 9,8 \text{ cm/s}$
- Áp dụng công thức độc lập thời gian, ta có:
$\left( \frac{v}{v_{max}} \right)^2 + \left( \frac{a}{a_{max}} \right)^2 = 1$
$\Rightarrow a = \sqrt{1 - \left( \frac{v}{v_{max}} \right)^2} . a_{max}$
Với $a_{max} = \omega^2 . S_0 = \omega^2 . l . \alpha_0 = 5^2 . 0,392 . 0,05 = 0,49 \text{ m/s}^2 = 49 \text{ cm/s}^2$
$\Rightarrow a = \sqrt{1 - \left( \frac{2,4}{9,8} \right)^2} . 49 \approx 47,9 \text{ cm/s}^2$

**Cách giải nhanh:**
Sử dụng công thức: $a = \omega \sqrt{v_{max}^2 - v^2} = \sqrt{\frac{g}{l}} . \sqrt{(\omega l \alpha_0)^2 - v^2} = 5.\sqrt{(0.098)^2 - (0.024)^2} \approx 0.479 m/s^2 = 47.9 cm/s^2$
Gia tốc gần đúng:
$a \approx \omega \sqrt{(\omega l \alpha_0)^2} = 49 cm/s^2$
**Gia tốc của con lắc là 0.96 cm/s²**

Ta có công thức liên hệ giữa li độ, vận tốc và biên độ:

• $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$

Áp dụng cho hai trường hợp:

• $(30\pi)^2 = \omega^2(A^2 - 4^2)$
• $(40\pi)^2 = \omega^2(A^2 - 3^2)$

Chia hai phương trình, ta được: $\frac{(30\pi)^2}{(40\pi)^2} = \frac{A^2 - 16}{A^2 - 9} \Rightarrow \frac{9}{16} = \frac{A^2 - 16}{A^2 - 9}$
$9(A^2 - 9) = 16(A^2 - 16) \Rightarrow 9A^2 - 81 = 16A^2 - 256 \Rightarrow 7A^2 = 175 \Rightarrow A^2 = 25 \Rightarrow A = 5 \,\text{cm}$
Thay $A = 5$ vào phương trình $(30\pi)^2 = \omega^2(5^2 - 4^2) = 9\omega^2$ ta được:
$(30\pi)^2 = 9\omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{(30\pi)^2}{9} \Rightarrow \omega = \frac{30\pi}{3} = 10\pi \,\text{rad/s}$
Vậy $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10\pi}{2\pi} = 5 \,\text{Hz}$.

Từ đồ thị ta có:

• Biên độ A = 4 cm
• Chu kì T = 0.5 s => ω = \frac{2\pi}{T} = 4\pi rad/s
• Tại t = 0: x = 2 cm và vật đang đi theo chiều âm nên 2 = 4cos(φ) => cos(φ) = \frac{1}{2} => φ = ± \frac{\pi}{3}. Vì vật đi theo chiều âm nên φ > 0, suy ra φ = \frac{\pi}{3}

Vậy phương trình dao động là x = 4\cos(4\pi t + \frac{\pi}{3}) cm

Biên độ dao động của con lắc là: $A = \frac{40}{4} = 10$ cm.
Khi động năng gấp 3 lần thế năng, ta có:
$\frac{1}{2}mv^2 = 3.\frac{1}{2}kx^2$
$\frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2) = 3.\frac{1}{2}k x^2$
$k(A^2 - x^2) = 3kx^2$
$A^2 - x^2 = 3x^2$
$A^2 = 4x^2$
$x^2 = \frac{A^2}{4}$
$x = \pm \frac{A}{2} = \pm \frac{10}{2} = \pm 5$ cm.
Vậy li độ của vật là 5 cm.