Một trường năng khiếu có 1000 học sinh. Trong đó có 200 học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, và có \(85%\) học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có \(10%\) số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. 

a) Sai.

b) Đúng. Ta có: Ta có \(\sin \widehat{MOH}=\frac{MH}{OM}\Leftrightarrow \frac{1}{3}=\frac{h}{OM}\Rightarrow OM=3h\) 

c) Sai.

\(cos\widehat{MOH}=\frac{OH}{OM}\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{OH}{3h}\Rightarrow OH=2\sqrt{2}h\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & M\left( 2\sqrt{2}h;0;h \right) \\  & N\left( 2\sqrt{2}h;10;h \right) \\ \end{align} \right.\)

d) Đúng. \(ON=\sqrt{9{{h}^{2}}+100}\) 

\(\sin \widehat{NOK}=\frac{NK}{ON}\Leftrightarrow \frac{10}{\sqrt{10}}=\frac{h}{\sqrt{9{{h}^{2}}+100}}\Rightarrow h=10\) 

Giả sử chân tháp là khối chóp cụt tứ giác đều \(ABCD.MNPQ\) với \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(5~m\),  \(MNPQ\) là hình vuông cạnh \(2~m\),  \(AM=BN=CP=DQ=3~m\) 

Vì \(DQ,NB\) cắt nhau nên \(D,Q,N,B\) đồng phẳng.

Mà \((ABCD)//(MNPQ)\) nên \(NQ//BD\) 

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MP\) và \(NQ,O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) Khi đó \(IO\bot (MNPQ),IO\bot (ABCD)\) 

Xét hình thang \(QNBD\),  gọi \(H\) là hình chiếu của \(Q\) trên \(BD,K\) là hình chiếu của \(N\) trên \(BD\) Vì \(IO\bot BD\),  \(QH\bot BD,NK\bot BD\) trong \((QNBD)\) nên \(IO//QH//NK\) 

Suy ra \(QH\bot (MNPQ),QH\bot (ABCD)\) nên \(QH\) bằng chiều cao của khối chóp cụt đều.

Ngoài ra, ta có \(QH=NK=IO\) và \(QD=NB\) Suy ra \(\Delta QHD=\Delta NKB\) nên ta có \(HD=BK\) 

Bên cạnh đó, \(QNKH\) là hình chữ nhật nên \(QN=HK\) Từ đó ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   HD & =\frac{BD-HK}{2}=\frac{\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{B}^{2}}}-\sqrt{M{{N}^{2}}+M{{Q}^{2}}}}{2}  \\   {} & =\frac{\sqrt{{{5}^{2}}+{{5}^{2}}}-\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}(~m).  \\\end{array}\)

Xét tam giác \(QHD\) vuông tại \(H\) có:

\(QH=\sqrt{Q{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}(~m).\)

Diện tích của hai đáy là:

\({{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}={{5}^{2}}=25\left( ~{{m}^{2}} \right)\), \({{S}_{MNPQ}}=M{{N}^{2}}={{2}^{2}}=4\left( ~{{m}^{2}} \right)\text{. }\)

Suy ra thể tích của khối chóp cụt đều là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   V & =\frac{1}{3}QH\left( {{S}_{ABCD}}+\sqrt{{{S}_{ABCD}}\cdot {{S}_{MNPQ}}}+{{S}_{MNPQ}} \right)  \\   {} & =\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}(25+\sqrt{25\cdot 4}+4)=\frac{39\sqrt{2}}{2}\approx 27,6\left( ~{{m}^{3}} \right).  \\\end{array}\)

Các đường đi từ A đến P là:

ABCMNP, ABMNP, ABNMP

ACBMNP, ACBMP, ACBNMP, ACBNP

ACNMP, ACMP

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:

\(x = \frac{1}{2} + t, \quad y = \frac{\sqrt{3}}{2} - t, \quad z = t\)

Mặt cầu trái đất có phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\). Thay phương trình tham số của đường thẳng \(d\) vào phương trình mặt cầu, ta được:

\((\frac{1}{2} + t)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - t)^2 + t^2 = 1\)

Giải phương trình này để tìm \(t\):

\(\frac{1}{4} + t + t^2 + \frac{3}{4} - \sqrt{3}t + t^2 + t^2 = 1 \Rightarrow 3t^2 + (1 - \sqrt{3})t = 0\)

Phương trình có hai nghiệm: \(t_1 = 0\) (ứng với điểm \(M\)) và \(t_2 = \frac{\sqrt{3} - 1}{3}\).

Thay \(t_2 = \frac{\sqrt{3} - 1}{3}\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(d\), ta được tọa độ điểm \(N\):

\(x_N = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} - 1}{3} = \frac{1 + 2\sqrt{3}}{6}, \quad y_N = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} - 1}{3} = \frac{\sqrt{3} + 2}{6}, \quad z_N = \frac{\sqrt{3} - 1}{3} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{6}\)

Vậy \(N\left(\frac{1 + 2\sqrt{3}}{6}; \frac{\sqrt{3} + 2}{6}; \frac{2\sqrt{3} - 2}{6}\right)\).

Điểm \(A\) có tọa độ \(A\left(\frac{1}{6}; \frac{1}{3}; -\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{6}; \frac{2}{6}; -\frac{2}{6}\right)\). Vectơ \(\overrightarrow{AN}\) có tọa độ:

\(\overrightarrow{AN} = (x_N - x_A; y_N - y_A; z_N - z_A) = (\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3})\)

Khoảng cách \(AN\) là độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AN}\):

\(AN = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{6})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{\frac{3}{9} + \frac{3}{36} + \frac{3}{9}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vì đơn vị trên trục bằng bán kính trái đất (64,000 km), ta có:

\(AN =  \frac{\sqrt{3}}{2}\text{ km} \times 64,000 \approx 55,425.6\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(N\) đến điểm \(A\) là 55 425,6 km.

Thể tích nhà kho là \(10000\,{{m}^{3}}\) nên ta có:

\(V={{x}^{2}}.y=10000\Leftrightarrow y=\frac{10000}{{{x}^{2}}}\) 

Diện tích sàn cần thi công là: \({{x}^{2}}\) 

Diện tích mái cần thi công là: \({{x}^{2}}\) 

Diện tích vách cần thi công là: \(3xy=3x.\frac{10000}{{{x}^{2}}}=\frac{30000}{x}\) 

Tổng chi phí thi công là:

\(C(x)=5{{x}^{2}}+10{{x}^{2}}+8.\frac{30000}{x}=15{{x}^{2}}+\frac{240000}{x}\) 

\(C'(x)=30x-\frac{240000}{{{x}^{2}}}\) 

Bảng biến thiên: 

Tổng chi phí thi công nhà kho là thấp nhất khi x = 20.

diện tích sàn nhà kho bằng \(400\,{{m}^{2}}\)