Câu hỏi:

Định lý: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có dạng "Nếu A thì B".
Trong đó A là "Hai góc đối đỉnh", B là "Hai góc bằng nhau".

• A là điều kiện đủ để có B.
• B là điều kiện cần để có A.

Vậy "Hai góc đối đỉnh là điều kiện đủ để hai góc đó bằng nhau." là mệnh đề đúng.

Phần bù của tập hợp $A$ trong $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực không thuộc $A$. Vì $A = \{x \in \mathbb{R} | -1 \le x < 3\}$, tức là $A = [-1; 3)$. Phần bù của $A$ trong $\mathbb{R}$ là $\mathbb{R} \setminus A = (-\infty; -1) \cup [3; +\infty)$. Vì $A$ bao gồm $-1$ (tức là $-1 \in A$), phần bù của $A$ sẽ không bao gồm $-1$, do đó ta có $(-\infty; -1)$. Vì $A$ không bao gồm $3$ (tức là $3 \notin A$), phần bù của $A$ sẽ bao gồm $3$, do đó ta có $[3; +\infty)$. Vậy phần bù của $A$ là $(-\infty; -1) \cup [3; +\infty)$.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất (tức là bậc 1) và chỉ có hai ẩn số.

• Đáp án A và D có 3 ẩn (x, y, z) nên loại.
• Đáp án C có chứa dấu '=', nên không phải bất phương trình, do đó loại.
• Đáp án B chứa các bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

Vậy đáp án đúng là B.

Đầu tiên, ta sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm: 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 12, 15. Số phần tử của dãy là 30. * $Q_1$ là trung vị của nửa dưới (không bao gồm trung vị nếu N lẻ). Nửa dưới là: 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4. $Q_1 = 2$ * $Q_3$ là trung vị của nửa trên. Nửa trên là: 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 12, 15. $Q_3 = (7+7)/2 = 7$ Khoảng tứ phân vị là $Q_3 - Q_1 = 7 - 2 = 5$. Tuy nhiên, các đáp án không có 5. Ta tính lại như sau: Dãy số liệu đã cho: 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 12, 15. N = 30 $Q_1$ là giá trị tại vị trí thứ $(30+1)/4 = 7.75$, vậy $Q_1$ nằm giữa phần tử thứ 7 và 8, $Q_1 = 2$. $Q_3$ là giá trị tại vị trí thứ $3(30+1)/4 = 23.25$, vậy $Q_3$ nằm giữa phần tử thứ 23 và 24, $Q_3 = 7. $ Vậy IQR = $Q_3 - Q_1 = 7-2 = 5$. Có thể đề bài hoặc đáp án bị sai. Theo quy tắc tính khoảng tứ phân vị, đáp án gần đúng nhất là A. 3.5

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là: $x^2 - 2x - 2 = x + m \Leftrightarrow x^2 - 3x - 2 - m = 0$ (*) Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, tức là: $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-2 - m) > 0 \Leftrightarrow 9 + 8 + 4m > 0 \Leftrightarrow 4m > -17 \Leftrightarrow m > -\frac{17}{4}$ Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình (*), theo định lý Viète ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1x_2 = -2 - m \end{cases}$ $y_1 = x_1 + m$, $y_2 = x_2 + m$ $OA^2 + OB^2 = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 = x_1^2 + (x_1 + m)^2 + x_2^2 + (x_2 + m)^2$ $= x_1^2 + x_1^2 + 2mx_1 + m^2 + x_2^2 + x_2^2 + 2mx_2 + m^2$ $= 2(x_1^2 + x_2^2) + 2m(x_1 + x_2) + 2m^2$ $= 2[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2] + 2m(3) + 2m^2$ $= 2[3^2 - 2(-2 - m)] + 6m + 2m^2$ $= 2[9 + 4 + 2m] + 6m + 2m^2 = 2(13 + 2m) + 6m + 2m^2$ $= 26 + 4m + 6m + 2m^2 = 2m^2 + 10m + 26 = 2(m^2 + 5m) + 26$ $= 2\left(m^2 + 5m + \frac{25}{4}\right) + 26 - \frac{25}{2} = 2\left(m + \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{27}{2}$ Để $OA^2 + OB^2$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $2\left(m + \frac{5}{2}\right)^2$ phải nhỏ nhất, tức là $m + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = -\frac{5}{2}$.