Câu hỏi:

 Cách 1:

Từ A có 2 cách đến C1:

- Từ A có 1 cách đến mũi tên số 1.

- Từ A có 1 cách đến mũi tên số 2.

Từ C1 có 5 cách đến C3:

Không mất tính tổng quát giả sử đi từ C1 mũi tên số 1 đến C3 mũi tên số 6 hoặc mũi tên số 7.

- Từ mũi tên số 1 có 2 cách để đi đến mũi tên số 6.

- Từ mũi tên số 1 có 3 cách để đi đến mũi tên số 7.

\(\Rightarrow \) Từ C1 có 5 cách đến C3.

Từ C3 có 5 cách đến C5:

Không mất tính tổng quát giả sử đi từ C3 mũi tên số 5 đến C5 mũi tên số 11 hoặc mũi tên số 12.

- Từ mũi tên số 5 có 2 cách để đi đến mũi tên số 11.

- Từ mũi tên số 5 có 3 cách để đi đến mũi tên số 11.

\(\Rightarrow \) Từ C3 có 5 cách đến C5.

Từ C5 có 2 cách đến B:

- Từ mũi tên số 11 có 1 cách đến B.

- Từ mũi tên số 12 có 1 cách đến B.

Vậy có \(2.5.5.2=100\) cách đi từ A đến B.

 Cách 2:

Từ A có 1 cách đi đến mũi tên 1.

- Từ mũi tên số 1 có 2 cách để đi đến mũi tên số 5, từ mũi tên số 5 có 2 cách để đi đến mũi tên 11, từ mũi tên 11 có 1 cách đi đến B

\(\Rightarrow \) Từ mũi tên số 1 đến mũi tên số 5 rồi đến mũi tên số 11 và \(\text{B}\) có \(2.2=4\) cách.

- Từ mũi tên số 1 có 2 cách để đi đến mũi tên số 6, từ mũi tên số 6 có 2 cách để đi đến mũi tên 11, từ mũi tên 11 có 1 cách đi đến B

\(\Rightarrow \) Từ mũi tên số 1 đến mũi tên số 6 rồi đến mũi tên số 11 và \(\text{B}\) có \(2.2=4\) cách.

- Từ mũi tên số 1 có 3 cách để đi đến mũi tên số 7, từ mũi tên số 7 có 3 cách để đi đến mũi tên 11, từ mũi tên 11 có 1 cách đi đến B

\(\Rightarrow \) Từ mũi tên số 1 đến mũi tên số 7 rồi đến mũi tên số 11 và B có \(3.3=9\) cách.

- Từ mũi tên số 1 có 3 cách để đi đến mũi tên số 8, từ mũi tên số 8 có 3 cách để đi đến mũi tên 11, từ mũi tên 11 có 1 cách đi đến B

\(\Rightarrow \) Từ mũi tên số 1 đến mũi tên số 8 rồi đến mũi tên số 11 và \(\text{B}\) có \(3.3=9\) cách.

- Từ mũi tên số 1 có 2 cách để đi đến mũi tên số 5, từ mũi tên số 5 có 3 cách để đi đến mũi tên 12, từ mũi tên 12 có 1 cách đi đến B

\(\Rightarrow \) Từ mũi tên số 1 đến mũi tên số 5 rồi đến mũi tên số 12 và \(\text{B}\) có \(2.3=6\) cách.

- Từ mũi tên số 1 có 2 cách để đi đến mũi tên số 6, từ mũi tên số 6 có 3 cách để đi đến mũi tên 12, từ mũi tên 12 có 1 cách đi đến B

\(\Rightarrow \) Từ mũi tên số 1 đến mũi tên số 6 rồi đến mũi tên số 12 và \(\text{B}\) có \(2.3=6\) cách.

- Từ mũi tên số 1 có 3 cách để đi đến mũi tên số 7, từ mũi tên số 7 có 2 cách để đi đến mũi tên 12, từ mũi tên 12 có 1 cách đi đến B

\(\Rightarrow \) Từ mũi tên số 1 đến mũi tên số 7 rồi đến mũi tên số 12 và \(\text{B}\) có \(3.2=6\) cách.

- Từ mũi tên số 1 có 3 cách để đi đến mũi tên số 8, từ mũi tên số 8 có 2 cách để đi đến mũi tên 12, từ mũi tên 12 có 1 cách đi đến B

\(\Rightarrow \) Từ mũi tên số 1 đến mũi tên số 8 rồi đến mũi tên số 12 và \(\text{B}\) có \(3.2=6\) cách.

Do đó, từ mũi tên 1 có:

\(4+4+9+9+6+6+6+6=50\) cách đi đến \(\text{B}\).

Tương tự, từ \(\text{A}\) có 1 cách đi đến mũi tên 2 và từ mũi tên 2 có 50 cách đi đến \(\text{B}\).

Vậy từ A có \(50+50=100\) cách đi đến \(\text{B}\).

Ta có

\({{f}^{\prime }}(x)=\int{{{f}^{\prime \prime }}}(x)dx=\int{\frac{1}{100}}\left( 2x-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)dx\)\(=\frac{1}{100}\left( {{x}^{2}}-\frac{{{x}^{3}}}{6} \right)+{{C}_{1}}\).

Suy ra,

\(\begin{array}{*{35}{l}}   f(x) & =\int{{{f}^{\prime }}}(x)dx  \\   {} & =\int{\left[ \frac{1}{100}\left( {{x}^{2}}-\frac{{{x}^{3}}}{6} \right)+{{C}_{1}} \right]}dx  \\   {} & =\frac{1}{100}\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{4}}}{6.4} \right)+{{C}_{1}}x+{{C}_{2}}  \\   {} & =\frac{1}{100}\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{4}}}{24} \right)+{{C}_{1}}x+{{C}_{2}}.  \\\end{array}\)

Dựa vào hình vẽ ta có \(f(O)=f(P)=0\)\(\Leftrightarrow f(0)=f(4)=0\).

Từ đó ta có hệ phương trình:

\(\begin{align}  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \text{f}(0)=\text{f}(4)  \\   \text{f}(0)=0  \\\end{array} \right. \\  & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \frac{1}{100}\left( \frac{{{0}^{3}}}{3}-\frac{{{0}^{4}}}{24} \right)+{{\text{C}}_{1}}\cdot 0+{{\text{C}}_{2}}=\frac{1}{100}\left( \frac{{{4}^{3}}}{3}-\frac{{{4}^{4}}}{24} \right)+{{\text{C}}_{1}}\cdot 4+{{\text{C}}_{2}}  \\   \frac{1}{100}\left( \frac{{{0}^{3}}}{3}-\frac{{{0}^{4}}}{24} \right)+{{\text{C}}_{1}}\cdot 0+{{\text{C}}_{2}}=0  \\\end{array} \right. \\  & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \frac{8}{75}+4{{\text{C}}_{1}}=0  \\   {{\text{C}}_{2}}=0  \\\end{array} \right. \\  & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{\text{C}}_{1}}=-\frac{2}{75}  \\   {{\text{C}}_{2}}=0  \\\end{array} \right. \\ \end{align}\)

Suy ra, \(f(x)=\frac{1}{100}\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{4}}}{24} \right)-\frac{2}{75}x\).

Tại điểm cách điểm \(P\) một khoảng 1 mét tức \(x=3\), ta có tấm ván bị võng xuống số mét là:

\(f(3)=\frac{1}{100}\left( \frac{{{3}^{3}}}{3}-\frac{{{3}^{4}}}{24} \right)-\frac{2}{75}.3\)\(=-0,02375(\text{m})\).

Vậy tấm ván vị võng xuống \(2,38\text{cm}\).

Dựa vào hình vẽ, ta có hộp chữ nhật có chiều cao là \(h=2x(\text{cm})\);

chiều rộng của đáy là \(a=45-2x(\text{cm})\) và chiều dài đáy là:

\(b=60-2x(\text{cm}),\left( 0<x<\frac{45}{2} \right)\).

Suy ra thể tích của hình hộp là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   V & =2x(45-2x)(60-2x)  \\   {} & =2x\left( 4{{x}^{2}}-210x+2700 \right)  \\   {} & =8{{x}^{3}}-420{{x}^{2}}+5400x.  \\\end{array}\)

Xét hàm số 

\(V(x)=8{{x}^{3}}-420{{x}^{2}}+5400x\) trên khoảng \(\left( 0;\frac{45}{2} \right)\).

Ta có \({{V}^{\prime }}(x)=24{{x}^{2}}-840x+5400\).

\({{V}^{\prime }}(x)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=\frac{35+5\sqrt{13}}{2}\left( L \right)  \\   x=\frac{35-5\sqrt{13}}{2}\left( TM \right)  \\\end{array} \right.\) 

Bảng biến thiên:

Vậy \({{V}_{\max }}=V\left( \frac{35-5\sqrt{13}}{2} \right)\) \(=20468,04\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)=20,5\) (l).

Để tìm độ dài ngắn nhất của đường gấp khúc AMNB ta sẽ "trải" các điểm A, B về cùng 1 mặt phẳng \((Oyz)\) với các điểm M, N và thoả mãn đoạn thẳng mới bằng với đoạn thẳng ban đầu (tức \(AM={{A}^{\prime }}M\); \(BM=B{{M}^{\prime }}\)) và đoạn gấp khúc ngắn nhất khi 4 điểm trên thẳng hàng.

Ta quay vuông góc mặt phẳng chứa điểm \(A(5;0;6)\) (tức mặt phẳng màu xanh) xuống mặt phẳng \((Oyz)\) ta được điểm \({{A}^{\prime }}(0;-5;6)\).

Giả sử điểm \(M(0;0;z)\in Oz\).

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   AM=\sqrt{{{5}^{2}}+{{(z-6)}^{2}}}  \\   {{A}^{\prime }}M=\sqrt{{{(-5)}^{2}}+{{(z-6)}^{2}}}  \\\end{array}\Rightarrow AM={{A}^{\prime }}M \right.\).

Tương tự, ta quay vuông góc mặt phẳng chứa điểm \(B(3;5;0)\) (tức mặt phẳng màu hồng) xuống mặt phẳng \((Oyz)\) ta được điểm \({{B}^{\prime }}(0;5;-3)\).

Giả sử điểm \(N(0;y;0)\in Oy\).

Suy ra được \(BN=B{{N}^{\prime }}\).

Ta có độ dài đường gấp khúc AMNB

\(=AM+MN+NB\)\(={{A}^{\prime }}M+MN+N{{B}^{\prime }}\).

Suy ra \(\operatorname{Min}\left( A{{M}^{\prime }}+MN+{{N}^{\prime }}B \right)\) xảy ra khi \({{A}^{\prime }},M,N,{{B}^{\prime }}\) thẳng hàng và bằng đường thẳng \({{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}\).

Và có độ dài là:

\({{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}=\sqrt{{{(5+5)}^{2}}+{{(-3-6)}^{2}}}=\sqrt{181}\approx 13,5\).

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((0;1)\).