Câu hỏi:

Gọi phương trình của parabol là $y = ax^2 + c$. Vì đỉnh của parabol cách $\Delta$ là 3 dm nên ta có thể đặt đỉnh parabol tại (0,3), suy ra $c=3$.
Đường thẳng a cắt parabol tại hai điểm có khoảng cách 6 dm, và a vuông góc với trục đối xứng nên hai giao điểm này có tọa độ là (-3, y_0) và (3, y_0).
Khi đó $y_0 = a(3)^2 + 3$. Khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng a là h, ta có $h = y_0 - 3 = 9a$.
Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng a quanh trục $\Delta$ là: $V = \pi \int_{-3}^{3} (ax^2 + 3)^2 dx = \pi \int_{-3}^{3} (a^2x^4 + 6ax^2 + 9)dx = 2\pi \int_{0}^{3} (a^2x^4 + 6ax^2 + 9)dx = 2\pi [\frac{a^2x^5}{5} + 2ax^3 + 9x]_0^3 = 2\pi (\frac{243a^2}{5} + 54a + 27)$.
Vì khoảng cách từ đỉnh parabol đến $\Delta$ là 3 và khoảng cách từ đường thẳng a đến $\Delta$ là $y_0$, nên ta có $h = y_0 - 3$.
Ta có thể viết lại parabol là $x^2 = 2p(y-3)$. Đường thẳng a có dạng $y = y_0$.
Khoảng cách giữa hai giao điểm là 6, vậy $2x = 6$ hay $x = 3$. Khi đó $9 = 2p(y_0 - 3)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng là $S = \frac{2}{3} * 6 * h = 4h$, với h là khoảng cách từ đỉnh parabol đến đường thẳng.
Thể tích $V = \pi * (b^2 * h - \frac{3}{5}b^2h) = 2\pi \int_{3}^{y_0} 2\sqrt{2p(y-3)}^2 dy$ , với $x^2= 2p(y-3)$
Vì đường thẳng a cắt tại x = 3, ta có $y = a x^2 + 3$ nên $y_0 = 9a+3$.
Áp dụng công thức tính thể tích vật tròn xoay: $V = \pi \int_{-3}^{3} (y_0^2 - (ax^2+3)^2) dx$
Vì parabol đi qua (3, y0): y = a * 9 + 3
V = $\pi 3^2 h = 9\pi h$, với $h = y_0 - 3 = a 3^2$
Khoảng cách từ đỉnh đến $\Delta$ là 3 dm. $V = \frac{1}{2} \pi r^2 h$. Suy ra r = 6. $V = \pi 3^2 6/2$
Thể tích là: $V = \frac{1}{2}* \pi * 36 * 6 = 226.2$