Câu hỏi:

Ta có công thức tần số dao động $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ hay $f^2 = \frac{k}{4\pi^2 m}$.
Từ đó suy ra:
$f_1^2 = \frac{k}{4\pi^2 m_1} = 3^2 = 9$ (1)
$f_2^2 = \frac{k}{4\pi^2 m_2} = 4^2 = 16$ (2)
Khi gắn đồng thời hai vật:
$f^2 = \frac{k}{4\pi^2 (m_1 + m_2)} = \frac{k}{4\pi^2 m_1 + 4\pi^2 m_2} = \frac{1}{\frac{4\pi^2 m_1}{k} + \frac{4\pi^2 m_2}{k}} = \frac{1}{\frac{1}{9} + \frac{1}{16}} = \frac{1}{\frac{16+9}{16*9}} = \frac{16*9}{25} = \frac{144}{25} = 5.76$
$f = \sqrt{5.76} = 2.4$ Hz.
Ta có $\frac{1}{f^2} = \frac{1}{f_1^2} + \frac{1}{f_2^2}$ => $f = \sqrt{\frac{f_1^2 f_2^2}{f_1^2+f_2^2}} = \sqrt{\frac{9*16}{9+16}} = \sqrt{\frac{144}{25}} = 2.4*\frac{\sqrt{100}}{5} = 2.4*\frac{10}{5} = 2.4 * 2 = 4.8$
Lại có: $f = \sqrt{f_1^2+f_2^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ (Hz) ???

Vậy $f = \sqrt{f_1^2+f_2^2} = \sqrt{9+16} = 5$Hz
Không có đáp án phù hợp, đáp án A có vẻ gần nhất. Tính lại:
$f_1^2 = 9 \Rightarrow m_1 = \frac{k}{4\pi^2 * 9}$
$f_2^2 = 16 \Rightarrow m_2 = \frac{k}{4\pi^2 * 16}$
$m_1 + m_2 = \frac{k}{4\pi^2 * 9} + \frac{k}{4\pi^2 * 16} = \frac{k}{4\pi^2}(\frac{1}{9} + \frac{1}{16}) = \frac{k}{4\pi^2} * \frac{25}{144}$
$f = \sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}} = \sqrt{\frac{k}{\frac{k}{4\pi^2} * \frac{25}{144}}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 * 144}{25}} = \frac{2\pi * 12}{5} = \frac{24\pi}{5} = 4.8\pi \approx 15.08 > 5.32 $ ???
$f^2 = f_1^2+f_2^2 \Rightarrow f= \sqrt{f_1^2+f_2^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$
$f=5 \Rightarrow T = 1/5 = 0.2 $

Ta có tần số $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$.

• Khi gắn $m_1 + m_2$: $f_1 = 2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}}$ (1)
• Khi gắn $m_1 - m_2$: $f_2 = 4 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1-m_2}}$ (2)

Chia (1) cho (2) ta được: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow m_1+m_2 = 4m_1 - 4m_2 \Rightarrow 5m_2 = 3m_1 \Rightarrow m_1 = \frac{5}{3}m_2$.
Thay $m_1 = \frac{5}{3}m_2$ vào (1) ta có: $2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\frac{5}{3}m_2 + m_2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\frac{8}{3}m_2}} \Rightarrow 4 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{3k}{8m_2} \Rightarrow \frac{k}{m_2} = \frac{128\pi^2}{3}$.
Khi gắn $m_1$: $f_{m_1} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\frac{5}{3}m_2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3k}{5m_2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3}{5} \cdot \frac{128\pi^2}{3}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{128\pi^2}{5}} = \sqrt{\frac{32}{5}} \approx 2.5298$ Hz. $T_{m_1} = \frac{1}{f_{m_1}} \approx 0.3953$ s.
Khi gắn $m_2$: $f_{m_2} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{128\pi^2}{3}} = \sqrt{\frac{32}{3}} \approx 3.266$ Hz. $T_{m_2} = \frac{1}{f_{m_2}} \approx 0.3062$ s.

Khi đưa con lắc đơn lên cao, gia tốc trọng trường g giảm. Chu kỳ dao động của con lắc đơn là T = 2π√(l/g). Tần số dao động là f = 1/T = (1/2π)√(g/l). Vì g giảm, nên f giảm.

Ta có: $T = 0,25s \Rightarrow \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,25} = 8\pi (rad/s)$
Phương trình dao động có dạng: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$
Với $A = 4cm$, $\omega = 8\pi$ rad/s.
Tại $t = 0$: $x = 4\cos(\varphi) < 0$ và $v = -A\omega\sin(\varphi) > 0$ suy ra $\cos(\varphi) < 0$ và $\sin(\varphi) < 0$ nên $\varphi$ nằm trong góc phần tư thứ III.
$v = -A\omega\sin(\varphi) = 16\pi \Rightarrow \sin(\varphi) = \frac{16\pi}{-4.8\pi} = -\frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $\varphi = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$
Vì $\varphi$ nằm trong góc phần tư thứ III, nên $\varphi = \frac{7\pi}{6}$.
Vậy $x = 4\cos(8\pi t + \frac{7\pi}{6}) = 4\cos(8\pi t - \frac{5\pi}{6})$.

Đổi đơn vị: l = 20 cm = 0.2 m; g = 10 m/s^2; v = 20 cm/s = 0.2 m/s; a = $2\sqrt{3}$ m/s^2

• Tính $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{10}{0.2}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ rad/s
• Ta có: $A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}$ và $a = -\omega^2 x \Rightarrow x = -\frac{a}{\omega^2} = -\frac{2\sqrt{3}}{(5\sqrt{2})^2} = -\frac{2\sqrt{3}}{50}$ m
• $A^2 = (\frac{-2\sqrt{3}}{50})^2 + \frac{(0.2)^2}{(5\sqrt{2})^2} = \frac{12}{2500} + \frac{0.04}{50} = \frac{12}{2500} + \frac{2}{2500} = \frac{14}{2500}$
• $A = \sqrt{\frac{14}{2500}} = \frac{\sqrt{14}}{50}$ m
• Tốc độ cực đại: $v_{max} = A\omega = \frac{\sqrt{14}}{50} * 5\sqrt{2} = \frac{\sqrt{28}}{10} = \frac{2\sqrt{7}}{10} = \frac{\sqrt{7}}{5} \approx 0.529$ m/s