Một vật được ném lên từ độ cao \(300m\) với vận tốc được cho bởi công thức:

\(v\left( t \right)=-9,81t+29,43\,\left( \text{m/s} \right)\).

(Nguồn: R.Larson anh Edwards, Calculus 10e, Cengage).

Gọi \(h\left( t \right)\,\left( \text{m} \right)\) là độ cao của vật so với mặt đất tại thời điểm \(t\left( \text{s} \right)\(tính từ lúc bắt đầu ném vật.

a) Do \(\text{P}\left( {{A}_{1}} \right)=0,61\). Suy ra a) đúng.

b) \(\text{P}\left( B\mid {{A}_{2}} \right)=\frac{\text{P}\left( B\cap {{A}_{2}} \right)}{\text{P}\left( {{A}_{2}} \right)}=0,82\). Do đó b) đúng.

c) Ta có:

\(\text{P}\left( {{A}_{1}} \right)=0,61;\text{P}\left( {{A}_{2}} \right)=0,39;\text{P}\left( B\mid {{A}_{1}} \right)=0,93;\text{P}\left( B\mid {{A}_{2}} \right)=0,82\).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}  \text{P}\left( B \right) & =\text{P}\left( {{A}_{1}} \right)\text{.P}\left( B|{{A}_{1}} \right)+\text{P}\left( {{A}_{2}} \right)\text{.P}\left( B|{{A}_{2}} \right) \\  {} & =0,61.0,93+0,39.0,82=0,8871. \\\end{array}\)

Vậy c) đúng.

d) Theo công thức Bayes, ta có:

\(\text{P}\left( {{A}_{1}}\mid B \right)=\frac{\text{P}\left( {{A}_{1}} \right)\text{.P}\left( B\mid {{A}_{1}} \right)}{\text{P}\left( B \right)}=\frac{0,61\cdot 0,93}{0,8871}\approx 0,64\).

Vậy d) sai.

a) Đúng.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(0;0;0) và B(760;120;10).

\(\left\{ \begin{align} & x=760t \\  & y=120t \\  & z=10t \\ \end{align} \right.\), \(t\in \left[ 0\,;\,\frac{5}{12} \right]\).

b) Đúng.

Tại \(t=0.5\) , tọa độ máy bay là \(\left\{ \begin{align} & x=760\times 0.5=380 \\  & y=120\times 0.5=60 \\  & z=10\times 0.5=5 \\ \end{align} \right.\)

Khoảng cách từ M(380;60;5) đến O(380;60;0) là 5km.

Như vậy, máy bay đã vào vùng kiểm soát.

c) Sai.

Quãng đường từ A đến B là khoảng cách giữa hai điểm AB xấp xỉ 769.5km.

d) Sai.

Theo đề vận tốc không đổi nên:

\(\frac{\text{Quãng đường trong vùng}}{\text{Tổng quãng đường}}=\frac{\text{thời gian trong vùng kiểm soát}}{\text{tổng thời gian}}=\frac{3}{17}\).

Ta thấy \(\frac{3}{17}\ne \frac{1}{6}\) .

Vậy kết luận này chưa chính xác.

Trong \(\left( SAD \right)\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) đến đường thẳng \(SD\). Khi đó \(AH\bot SD\left( 1 \right)\).

Mặt khác \(DC\bot \left( SAD \right)\Rightarrow DC\bot AH\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\)\(\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)\).

\(\Rightarrow d\left( A,\,\left( SCD \right) \right)=AH=\frac{SA.AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{D}^{2}}}}=\frac{1}{2}=0,5\).

Đồ thị trên chỉ có hai đỉnh bậc lẻ là A và D nên ta có thể tìm được một đường đi Euler từ A đến D (đường đi này đi qua mỗi cạnh đúng một lần).

Một đường đi Euler từ A đến D là AFEABEDBCD và tổng độ dài của nó là:

\(1000+900+700+200+800+1600+1500+300+400=7400\).

Để quay trở lại điểm xuất phát và có đường đi ngắn nhất, ta cần tìm một đường đi ngắn nhất từ D đến A theo thuật toán gắn nhãn vĩnh viễn.

Đường đi ngắn nhất từ D đến A là DCBA và có độ dài là:

\(400+300+200=900\).

Vậy một chu trình cần tìm là AFEABEDBCDCBA và có độ dài là:

\(7400+900=8300\).

Do \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(MA=MB\) nên \(M\) thuộc giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\), trong đó \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

+ Tìm được \(\left( Q \right):\,y+z=0\).

+ Khi đó \(M\) thuộc đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\  & y=-t \\  & z=t \\ \end{align} \right.\) với \(d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\Rightarrow M\left( 1+3t\,;\,-t\,;\,t \right)\).

+ Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left( 3t-1\,;\,-t-2\,;\,t \right)\,,\,\overrightarrow{BM}=\left( 3t-1\,;\,-t\,;\,t+2 \right)\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}  \Rightarrow \cos \left( \overrightarrow{AM}\overrightarrow{BM} \right) & =\frac{{{\left( 3t-1 \right)}^{2}}+2\left( {{t}^{2}}+2t \right)}{{{\left( 3t-1 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}} \\  {} & =\frac{11{{t}^{2}}-2t+1}{11{{t}^{2}}-2t+5}=1-\frac{4}{11{{t}^{2}}-2t+5}. \\\end{array}\)

Suy ra \(\widehat{AMB}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(t=\frac{1}{11}\Rightarrow M\left( \frac{14}{11}\,;\,-\frac{1}{11}\,;\,\frac{1}{11} \right)\).

\(\Rightarrow S=a+b+c=\frac{14}{11}\approx 1,27\).