Câu hỏi:

Ta có công thức chu kỳ dao động của con lắc lò xo là $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Từ đề bài, ta có $T_1 = 2s$ khi $m_1 = 200g$ và $T_2 = 1s$ khi $m = m_2$.
Ta có $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \Rightarrow \frac{2}{1} = \sqrt{\frac{200}{m_2}} \Rightarrow 4 = \frac{200}{m_2} \Rightarrow m_2 = \frac{200}{4} = 50g$.

Độ dãn của lò xo khi treo vật là $\Delta l = 2,5 \, cm = 0,025 \, m$.
Ta có: $k = \frac{mg}{\Delta l} = \frac{0,25 \times 10}{0,025} = 100 \, N/m$.
Chu kì dao động của con lắc lò xo là:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,25}{100}} = 2\pi \times 0,05 \approx 0,314 \, s$.
Giá trị gần nhất là 0,25 s (do đề bài có thể đã lấy $\pi^2 = 10$). Nếu sử dụng $T = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.025}{10}} = 2\pi \sqrt{0.0025} = 2\pi (0.05) = 0.314s$ và làm tròn, ta được 0.31s. Tuy nhiên, theo các đáp án cho sẵn, đáp án chính xác nhất phải là 0.31s.

Ta có công thức tính cơ năng của con lắc lò xo: $W = \frac{1}{2}kA^2$.
Động năng của con lắc tại vị trí có li độ x là: $W_đ = W - W_t = W - \frac{1}{2}kx^2 = W - W \frac{x^2}{A^2} = W(1 - \frac{x^2}{A^2})$.
Thay số: $W_đ = 0.9(1 - \frac{(-5)^2}{15^2}) = 0.9(1 - \frac{25}{225}) = 0.9(1 - \frac{1}{9}) = 0.9(\frac{8}{9}) = 0.8 J$.

Gọi $l$ là chiều dài dây treo của con lắc đơn.
Ta có biên độ dài $S_0 = \alpha_0 l = 0,1l$.
Tại thời điểm ban đầu, vật có li độ dài $s = 8$ cm và vận tốc $v = 20\sqrt{3}$ cm/s.
Ta có công thức độc lập với thời gian:
$\dfrac{v^2}{v_{max}^2} + \dfrac{s^2}{S_0^2} = 1$
$\Rightarrow v_{max}^2 = \dfrac{v^2}{1 - \dfrac{s^2}{S_0^2}}$
$\Rightarrow v_{max}^2 = \dfrac{(20\sqrt{3})^2}{1 - \dfrac{8^2}{(0,1l)^2}}$ (1)
Mặt khác, ta có: $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}} = \sqrt{\dfrac{10}{l}}$ (rad/s)
$v_{max} = \omega S_0 = \sqrt{\dfrac{10}{l}} * 0,1l = 0,1\sqrt{10l}$
$v_{max}^2 = 0,01 * 10l = 0,1l$ (2)
Từ (1) và (2), ta có:
$0,1l = \dfrac{1200}{1 - \dfrac{64}{(0,1l)^2}}$
$0,1l - \dfrac{64 * 0,1l}{(0,1l)^2} = 1200$
$0,1l - \dfrac{6,4 l}{0,01 l^2} = 1200$
Đặt $x = 0,1l$, ta có:
$x - \dfrac{6,4}{x} = 1200$
$x^2 - 1200x - 6,4 = 0$
$\Delta' = 600^2 + 6,4 = 360006,4$
$x = 600 + \sqrt{360006,4} \approx 1200,0053$
$v_{max}^2 = 0,1l = x \approx 1200,0053 \Rightarrow v_{max} \approx \sqrt{1200,0053} = 34,64$ cm/s = $0,3464$ m/s.
Giải lại:
Ta có: $S_0 = l \alpha_0 = 0.1 l$.
$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$
$v_{max} = S_0 \omega = 0.1 l \sqrt{\dfrac{g}{l}} = 0.1 \sqrt{gl} = 0.1 \sqrt{10l}$
$\dfrac{v^2}{v_{max}^2} + \dfrac{s^2}{S_0^2} = 1$
$\dfrac{(0.2\sqrt{3})^2}{v_{max}^2} + \dfrac{0.08^2}{(0.1l)^2} = 1$
$\dfrac{0.12}{v_{max}^2} = 1 - \dfrac{0.0064}{0.01l^2} = 1 - \dfrac{0.64}{l^2}$
$\dfrac{0.12}{0.01 * 10l} = 1 - \dfrac{0.64}{l^2}$
$\dfrac{1.2}{l} = 1 - \dfrac{0.64}{l^2}$
$1.2l = l^2 - 0.64$
$l^2 - 1.2l - 0.64 = 0$
$\Delta = 1.2^2 + 4 * 0.64 = 1.44 + 2.56 = 4$
$l = \dfrac{1.2 + 2}{2} = 1.6$
$v_{max} = 0.1 \sqrt{10 * 1.6} = 0.1 \sqrt{16} = 0.1 * 4 = 0.4$ (m/s)

$\ell$ là chiều dài dây treo của con lắc đơn và ${\alpha _0}$ là biên độ góc (tính bằng radian).
Biên độ dài $s_0$ của dao động được tính bằng công thức: $s_0 = \ell \alpha_0$.
Vậy, tích số $\ell {\alpha _0}$ là biên độ cong của dao động.