JavaScript is required

Câu hỏi:

Một toà nhà có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với cạnh đáy lớn là 14 m, cạnh đáy nhỏ là 8 m, cạnh bên là 5 m. Xét góc nhị diện có cạnh chứa cạnh đáy nhỏ, một mặt nhị diện chứa đáy nhỏ và mặt nhị diện còn lại chứa mặt bên của hình chóp cụt đều. Số đo góc nhị diện đó bằng \({{\rm{n}}^o }\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) với n là số tự nhiên. Giá trị của n là bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi hình chóp cụt là $ABCD.A'B'C'D'$ với $ABCD$ là đáy lớn và $A'B'C'D'$ là đáy nhỏ.
Gọi $O$ và $O'$ lần lượt là tâm của đáy lớn và đáy nhỏ.
Gọi $M$ là trung điểm của $A'B'$. Kẻ $MH \perp AB$ tại $H$. Khi đó góc giữa mặt bên $(ABB'A')$ và đáy nhỏ là $\angle MHA'$.
Ta có $A'B' = 8$ và $AB = 14$ nên $AH = \frac{AB - A'B'}{2} = \frac{14 - 8}{2} = 3$.
Xét tam giác $AA'K$ vuông tại $K$, ta có $AA' = 5$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $I'$ là trung điểm $A'B'$. Suy ra $II' = \sqrt{AA'^2 - (AI - A'I')^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
Trong tam giác $I'MH$, ta có $\tan(\angle MHA') = \frac{II'}{AH} = \frac{4}{3}$. Suy ra $\angle MHA' = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53.13^o$.
Do đó, góc nhị diện cần tìm xấp xỉ $53^o$. Tuy nhiên, ta cần tìm góc nhị diện có cạnh là cạnh đáy nhỏ. Vì vậy ta tính góc giữa mặt bên và đáy nhỏ.
Gọi $E$ là trung điểm của $A'B'$. Khi đó $A'E=4$. Gọi $F$ là hình chiếu của $E$ trên $AB$, thì $AF = \frac{14-8}{2} = 3$.
Gọi $h$ là chiều cao của hình chóp cụt, ta có $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
Khi đó $\tan(\angle EFA') = \frac{h}{A'E} = \frac{4}{3}$, suy ra $\angle EFA' = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53.13^o$.
Kẻ $A'K \perp AB$, khi đó $A'K = h = 4$, $AK = 3$, nên $\tan(\widehat{AA'K}) = \frac{A'K}{AK} = \frac{4}{3}$.
Vậy góc cần tìm là $n = 62$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan