JavaScript is required

Câu hỏi:

Hoạ sĩ thiết kế một chiếc mũ xe máy có dạng khối tròn xoay, mặt cắt đứng chứa tâm của khối tròn xoay có dạng một cung tròn bán kính 20 cm, với độ dài dây cung là 32 cm (hình bên). Thể tích của khối tròn xoay này là bao nhiêu \({\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\) ? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Hoạ sĩ thiết kế một chiếc mũ xe máy có dạng khối tròn xoay, mặt cắt đứng chứa tâm của khối tròn xoay có dạng một cung tròn bán kính 20 cm, (ảnh 1)

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $R$ là bán kính cung tròn, $l$ là độ dài dây cung.
Bán kính $R = 20$ cm, nửa độ dài dây cung $l/2 = 16$ cm.
Gọi $h$ là khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây cung, ta có:
$h = \sqrt{R^2 - (l/2)^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ cm.
Vậy khoảng cách từ tâm đường tròn đến trục quay là $d = R - h = 20 - 12 = 8$ cm.
Áp dụng công thức Pappus-Guldinus, thể tích khối tròn xoay là:
$V = 2\pi d \cdot S$, trong đó $S$ là diện tích hình tròn bán kính $R$.
Diện tích hình tròn là: $S = \pi R^2 = \pi (20^2) = 400\pi$ cm$^2$.
Vậy thể tích khối tròn xoay là: $V = 2\pi \cdot 8 \cdot 400\pi = 6400\pi^2 \approx 6400 \cdot (3.14159)^2 \approx 63165.4 \text{ cm}^3 = 63.1654 \text{ dm}^3$.
Tuy nhiên, vì ta chỉ xét phần cung tròn, không phải cả hình tròn, ta phải tính diện tích hình viên phân.
Diện tích hình viên phân là $S = \frac{R^2}{2} (\theta - \sin \theta)$, với $\theta$ là góc ở tâm chắn cung.
$\sin(\theta/2) = \frac{16}{20} = 0.8$, suy ra $\theta/2 \approx 0.9273$ rad, $\theta \approx 1.8546$ rad.
$S = \frac{20^2}{2} (1.8546 - \sin 1.8546) = 200 (1.8546 - 0.9511) = 200 \cdot 0.9035 = 180.7 \text{ cm}^2$.
Thể tích khối tròn xoay: $V = 2 \pi d S = 2 \pi \cdot 8 \cdot 180.7 = 9078.7 \text{ cm}^3 = 9.0787 \text{ dm}^3$.
Nếu ta tính diện tích nửa hình tròn trừ đi diện tích hình chữ nhật:
Diện tích $= \frac{1}{2}\pi R^2 - 2Rh = \frac{1}{2} * \pi * 20 * 20 - 2 * 20 * 12 = 628 - 480 = 148
V = 2 * pi * 8 * 148 = 74366

Công thức chính xác: $V = \pi h^2 (R-\frac{h}{3}) = (32/2)^2 \pi * (20 - 12/3) \newline= 24576$
V = $4\dm^3$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan