Một thanh dầm hình hộp chữ nhật được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính \(20\) cm sao cho thanh dầm có diện tích mặt cắt ngang lớn nhất, tức là thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông. Sau khi cắt thanh dầm đó, người ta lại cắt bốn tấm ván hình hộp chữ nhật từ bốn phần còn lại của khúc gỗ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Xác định diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván (theo đơn vị cm2 và làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Gọi mặt cắt ngang của tấm ván là hình chữ nhật \(ABCD\); \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,CD\).

Cách 1: Đặt \(MN=x\), \(OM=\frac{1}{2}\cdot 20\sqrt{2}=10\sqrt{2}\)\(\Rightarrow ON=x+10\sqrt{2}\). Suy ra,

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & NC & =\sqrt{O{{C}^{2}}-O{{N}^{2}}}  \\   {} & {} & =\sqrt{{{20}^{2}}-{{\left( x+10\sqrt{2} \right)}^{2}}}  \\   {} & {} & =\sqrt{-{{x}^{2}}-20\sqrt{2}x+200}  \\   \Rightarrow  & AB & =2\sqrt{-{{x}^{2}}-20\sqrt{2}x+200},\,\,\left( 0<x<20-10\sqrt{2} \right).  \\\end{array}\)

Diện tích mặt cắt ngang của tấm ván là:

\(S=AB.CD=2x\sqrt{-{{x}^{2}}-20\sqrt{2}x+200}=2\sqrt{-{{x}^{4}}-20\sqrt{2}{{x}^{3}}+200{{x}^{2}}}\).

\({S}'=\frac{-4{{x}^{3}}-60\sqrt{2}{{x}^{2}}+400x}{\sqrt{-{{x}^{4}}-20\sqrt{2}{{x}^{3}}+200{{x}^{2}}}}\) ;

\({S}'=0\Rightarrow -4{{x}^{3}}-60\sqrt{2}{{x}^{2}}+400x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2} \\  & x=\frac{-5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right.\).

Đối chiếu điều kiện \(0<x<20-10\sqrt{2}\Rightarrow x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}\).

Lập bảng biến thiên của hàm số \(S=2\sqrt{-{{x}^{4}}-20\sqrt{2}{{x}^{3}}+200{{x}^{2}}}\), ta có:

\(\underset{\left( 0;20-10\sqrt{2} \right)}{\mathop{\max }}\,S=S\left( \frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2} \right)\approx 67,3c{{m}^{2}}\).

Cách 2.

Đặt \(\widehat{NOC}=\alpha \))\(\left( 0<\alpha <\frac{\pi }{4} \right)\).

Ta có: \(OM=\frac{1}{2}\cdot 20\sqrt{2}=10\sqrt{2}\);

\(ON=OC.\cos \alpha =20\cos \alpha \);

\(MN=ON-OM=20\cos \alpha -10\sqrt{2}\).

\(NC=OC.\sin \alpha =20\sin \alpha \)\(\Rightarrow CD=40\sin \alpha \).

Vậy diện tích mặt cắt ngang của tấm ván là:

\(S=MN.CD=40\sin \alpha .\left( 20\cos \alpha -10\sqrt{2} \right)=800\sin \alpha .\cos \alpha -400\sqrt{2}\sin \alpha \)

Đặt \(x=\sin \alpha \), do \(0<\alpha <\frac{\pi }{4}\,\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & 0<x<\frac{\sqrt{2}}{2} \\  & \cos \alpha =\sqrt{1-{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right.\) nên ta có:

\(S=800x\sqrt{1-{{x}^{2}}}-400\sqrt{2}x=400\left( 2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}x \right)\), \(0<x<\frac{\sqrt{2}}{2}\,\).

\({S}'=400\left( 2\sqrt{1-{{x}^{2}}}+2x.\frac{-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}-\sqrt{2} \right)\)\(=400\left( \frac{2-4{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}-\sqrt{2} \right)\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {S}'=0 & \Leftrightarrow  & \frac{2-4{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} & =\sqrt{2}  \\   {} & \Rightarrow  & 4-16{{x}^{2}}+16{{x}^{4}} & =2-2{{x}^{2}}  \\   {} & \Leftrightarrow  & 16{{x}^{4}}-14{{x}^{2}}+2 & =0  \\   {} & \Leftrightarrow  & \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}=\frac{7-\sqrt{17}}{16} \\  & {{x}^{2}}=\frac{7+\sqrt{47}}{16} \\ \end{align} \right. & {}  \\\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(0<x<\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4}\).

Lập BBT, ta có với \(x=\frac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4}\) thì \(S\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(67,3\,\text{c}{{\text{m}}^{\text{2}}}\).