Một nhà xuất bản sách muốn đưa ra thị trường một quyển sách Toán. Biết một trang giấy của một quyển sách Toán có dạng hình chữ nhật. Phần in chữ (hình ảnh) trên trang giấy đó cần diện tích là \(337,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ c}{{\text{m}}^{2}}\). Biết lề trên, lề dưới của trang giấy là 3 cm ; lề phải, lề trái của trang giấy là 2 cm. Để tiết kiệm chi phí in ấn và giấy nên nhà xuất bản yêu cầu diện tích trang giấy là nhỏ nhất. Khi đó, quyển sách dày 100 tờ bao gồm cả bìa, mỗi tờ (trừ tờ bìa) đều in 2 mặt.

• Giá bìa màu: 2.000 đồng/ trang.

• Giá in ấn: 2.000 đồng \(/{{\text{m}}^{2}}\).

• Giá giấy: 1.300 đồng \(/{{m}^{2}}\).

Với giá gốc (giá sách ban đầu) chỉ chiếm \(20\text{ }\!\!%\!\!\text{ }\) giá bán của sách.

Khi đó giá bán mỗi quyển sách tối thiểu là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn đến đơn vị hàng nghìn).

Diện tích một cánh hoa là diện tích hình phẳng được tính theo công thức sau:

\(S=\int _{0}^{20}\left( \sqrt{20x}-\frac{1}{20}{{x}^{2}} \right)\text{d}x=\left. \left( \frac{2}{3}\cdot \sqrt{20}\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}-\frac{1}{60}{{x}^{3}} \right) \right|_{0}^{20}=\frac{400}{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)\).

Diện tích 4 cánh hoa của 1 viên gạch là \({{S}_{1}}=4.S=\frac{1600}{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)\).

Diện tích phần màu trắng của 1 viên gạch là:

\({{S}_{2}}=40.40-{{S}_{1}}=1600-\frac{1600}{3}=\frac{3200}{3}\left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)\).

Nền nhà cần số viên gạch là \(\frac{60\times {{100}^{2}}}{1600}=300\) (viên gạch)

Vậy số tiền cần là mua 300 viên gạch là:

\(T=300\times \left[ \frac{1600}{3.1000}\times 30000+\frac{3200}{3.1000}\times 15000 \right]=9600000\) (đồng).

\(=9,60\) (triệu đồng).

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là: \(\overline{abcd}\).

\((a,b,c,d\in \text{ }\!\!~\!\!\text{ N};0<a\le 9;0\le b,c,d\le 9)\).

Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)=9\cdot 10\cdot 10\cdot 10=9000\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Số được chọn có chỉ một chữ số xuất hiện đúng hai lần".

 Trường hợp 1: Số xuất hiện hai lần là số 0.

Chọn a có 9 cách, vị trí hai số 0 có \(C_{3}^{2}\) cách, vị trí còn lại có 8 cách \(\Rightarrow 9.C_{3}^{2}.8\) cách.

 Trường hợp 2: Số xuất hiện hai lần là một trong các số: \(\left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}\).

Ví dụ: số xuất hiện hai lần là số 1.

Chọn vị trí hai số 1 có \(C_{4}^{2}\) cách, hai vị trí còn lại có \(A_{9}^{2}\) cách \(\Rightarrow C_{4}^{2}\cdot A_{9}^{2}\) cách.

Chọn \(a=0\), hai vị trí số 1 có \(C_{3}^{2}\) cách, vị trí còn lại có 8 cách \(\Rightarrow C_{3}^{2}.8\) cách.

Với các số: \(\left\{ 2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}\) xuất hiện hai lần ta làm tương tự.

Từ đó ta có: 9. \(\left( C_{4}^{2}\cdot A_{9}^{2}-C_{3}^{2}\cdot 8 \right)\) cách.

Do đó \(n\left( A \right)=9\cdot C_{3}^{2}\cdot 8+9.\left( C_{4}^{2}\cdot A_{9}^{2}-C_{3}^{2}\cdot 8 \right)=3888\) cách.

Vậy \(P\left( A \right)=\frac{3888}{9000}=\frac{54}{125}\approx 0,43\).

Ta có \(\int{{{x}^{4}}}\text{ }~\text{ d}x=\frac{1}{5}{{x}^{5}}+C\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S=\int_{0}^{1}{\left| 2{{x}^{2}}+1 \right|}\text{d}x=\int_{0}^{1}{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}\text{d}x\) do \(2{{x}^{2}}+1>0\text{ }~\text{ }\forall x\in \left[ 0;1 \right]\).

Ta có: nhóm \(\left[ 90;120 \right)\) có tần số bằng 10.

Khi đó mốt của bảng số liệu trên thuộc nhóm [90;120).