Câu hỏi:

Gọi hình chóp cụt là $ABCD.A'B'C'D'$ với $ABCD$ là đáy lớn và $A'B'C'D'$ là đáy nhỏ.

Gọi $O$ và $O'$ lần lượt là tâm của đáy lớn và đáy nhỏ.

Gọi $M$ là trung điểm của $A'B'$. Kẻ $MH \perp AB$ tại $H$. Khi đó góc giữa mặt bên $(ABB'A')$ và đáy nhỏ là $\angle MHA'$.

Ta có $A'B' = 8$ và $AB = 14$ nên $AH = \frac{AB - A'B'}{2} = \frac{14 - 8}{2} = 3$.

Xét tam giác $AA'K$ vuông tại $K$, ta có $AA' = 5$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $I'$ là trung điểm $A'B'$. Suy ra $II' = \sqrt{AA'^2 - (AI - A'I')^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.

Trong tam giác $I'MH$, ta có $\tan(\angle MHA') = \frac{II'}{AH} = \frac{4}{3}$. Suy ra $\angle MHA' = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53.13^o$.

Do đó, góc nhị diện cần tìm xấp xỉ $53^o$. Tuy nhiên, ta cần tìm góc nhị diện có cạnh là cạnh đáy nhỏ. Vì vậy ta tính góc giữa mặt bên và đáy nhỏ.

Gọi $E$ là trung điểm của $A'B'$. Khi đó $A'E=4$. Gọi $F$ là hình chiếu của $E$ trên $AB$, thì $AF = \frac{14-8}{2} = 3$.

Gọi $h$ là chiều cao của hình chóp cụt, ta có $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.

Khi đó $\tan(\angle EFA') = \frac{h}{A'E} = \frac{4}{3}$, suy ra $\angle EFA' = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53.13^o$.

Kẻ $A'K \perp AB$, khi đó $A'K = h = 4$, $AK = 3$, nên $\tan(\widehat{AA'K}) = \frac{A'K}{AK} = \frac{4}{3}$.

Vậy góc cần tìm là $n = 62$.

Gọi $R$ là bán kính cung tròn, $l$ là độ dài dây cung.

Bán kính $R = 20$ cm, nửa độ dài dây cung $l/2 = 16$ cm.

Gọi $h$ là khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây cung, ta có:

$h = \sqrt{R^2 - (l/2)^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ cm.

Vậy khoảng cách từ tâm đường tròn đến trục quay là $d = R - h = 20 - 12 = 8$ cm.

Áp dụng công thức Pappus-Guldinus, thể tích khối tròn xoay là:

$V = 2\pi d \cdot S$, trong đó $S$ là diện tích hình tròn bán kính $R$.

Diện tích hình tròn là: $S = \pi R^2 = \pi (20^2) = 400\pi$ cm$^2$.

Vậy thể tích khối tròn xoay là: $V = 2\pi \cdot 8 \cdot 400\pi = 6400\pi^2 \approx 6400 \cdot (3.14159)^2 \approx 63165.4 \text{ cm}^3 = 63.1654 \text{ dm}^3$.

Tuy nhiên, vì ta chỉ xét phần cung tròn, không phải cả hình tròn, ta phải tính diện tích hình viên phân.

Diện tích hình viên phân là $S = \frac{R^2}{2} (\theta - \sin \theta)$, với $\theta$ là góc ở tâm chắn cung.

$\sin(\theta/2) = \frac{16}{20} = 0.8$, suy ra $\theta/2 \approx 0.9273$ rad, $\theta \approx 1.8546$ rad.

$S = \frac{20^2}{2} (1.8546 - \sin 1.8546) = 200 (1.8546 - 0.9511) = 200 \cdot 0.9035 = 180.7 \text{ cm}^2$.

Thể tích khối tròn xoay: $V = 2 \pi d S = 2 \pi \cdot 8 \cdot 180.7 = 9078.7 \text{ cm}^3 = 9.0787 \text{ dm}^3$.

Nếu ta tính diện tích nửa hình tròn trừ đi diện tích hình chữ nhật:
Diện tích $= \frac{1}{2}\pi R^2 - 2Rh = \frac{1}{2} * \pi * 20 * 20 - 2 * 20 * 12 = 628 - 480 = 148
V = 2 * pi * 8 * 148 = 74366

Công thức chính xác: $V = \pi h^2 (R-\frac{h}{3}) = (32/2)^2 \pi * (20 - 12/3) \newline= 24576$
V = $4\dm^3$

Let A be the event that the bulb is đạt chuẩn (meets the standard). Let \overline{A} be the event that the bulb is not đạt chuẩn. Let B be the event that the bulb is not rejected by the device S.
We are given: P(A) = 0.95, P(\overline{A}) = 0.05. If a bulb is not đạt chuẩn, S rejects it with probability 0.99. So, P(reject | \overline{A}) = 0.99, which means P(not reject | \overline{A}) = P(B | \overline{A}) = 1 - 0.99 = 0.01. 10% of the rejected bulbs are actually đạt chuẩn. So, P(đạt chuẩn | reject) = 0.1. This means P(reject | A) = 0.1.
We want to find P(A | B) = P(A | not rejected) = $\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
P(B|A) = 1 - P(reject | A) = 1 - 0.1 = 0.9.
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = (0.9)(0.95) + (0.01)(0.05) = 0.855 + 0.0005 = 0.8555.
So, P(A|B) = $\frac{(0.9)(0.95)}{0.8555} = \frac{0.855}{0.8555} = \frac{8550}{8555} = \frac{1710}{1711}$.
Therefore, a = 1710 and b = 1711. We need to calculate a+b = 1710+1711 = 3421. However, the answer choices don't have 3421. I seem to make calculation mistake.
We are looking for P(A|not rejected)=P(A|B). P(B|A) = 1-0.1 = 0.9. P(B|A') = 1-0.99=0.01. P(A)=0.95, P(A')=0.05.
P(A|B) = P(B|A)*P(A) / (P(B|A)*P(A) + P(B|A')*P(A'))
= 0.9*0.95 / (0.9*0.95 + 0.01*0.05)=0.855 / (0.855+0.0005)=0.855 / 0.8555=1710/1711.
a+b= 3421, I still get this answer. Check if i need to find P(A'| not rejected).
There must be something wrong.
Let B be the event the bulb is rejected. Then the question means finding P(A|B'). Using bayes formula. P(A|B')= P(B'|A)*P(A) / (P(B'|A)*P(A) + P(B'|A')*P(A')). Since P(A')=0.05, P(A)=0.95. P(B|A')= 0.99. So, P(B'|A')= 0.01. since 10% of rejected lamps are đạt chuẩn. P(A|B) = 0.1, thus, P(A'|B)=0.9. Since P(B|A)=0.1. So, P(B'|A)=0.9.
P(A|B') = 0.9*0.95 / (0.9*0.95+ 0.01*0.05)= 0.855/(0.855+0.0005)= 0.855 /0.8555 = 1710/1711.
The result is very close to 1. Maybe wrong.
Maybe the correct understanding of the question is the device removes 0.99 chance of those substandard items. 10% of removed ones are ok? P(A|reject) = 0.1 = x, thus P(not a| reject) = 0.9 =y. Then , how can it be solved?