Một lớp học hè có 15 học sinh. Biết rằng mỗi ngày 3 học sinh trong lớp có nhiệm vụ trực nhật sau giờ học. Sau khi kết thúc khóa học hè, người ta thấy rằng hai học sinh bất kỳ trực nhật cùng nhau đúng một ngày. Hỏi lớp học hè kéo dài trong bao nhiêu ngày?

Đáp án đúng là 30.

Ta có công thức tính cường độ ánh sáng của một nguồn điểm là:

\(I=k\cdot \frac{{{I}_{0}}}{{{r}^{2}}}\),trong đó: \(I\) là cường độ ánh sáng của một nguồn điểm, \({{I}_{0}}\) là cường độ của nguồn sáng, \(r\) là khoảng cách của điểm đó đến nguồn sáng.

Gọi \(x\) là khoảng cách từ \(M\) đến nguồn có cường độ là \(S\).

Vì cường độ sáng tại điểm \(M\) bằng tổng cường độ sáng mỗi nguồn tại điểm đó nên suy ra cường độ sáng tại điểm \(M\) là:

\({{I}_{M}}={{I}_{M(S)}}+{{I}_{M(8S)}}\)\(=k\cdot \frac{S}{{{x}^{2}}}+k\cdot \frac{8S}{{{(90-x)}^{2}}},(0<x<90)\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \Rightarrow  & I_{M}^{\prime }=k\cdot S\cdot \left( \frac{-2x}{{{x}^{4}}}+\frac{-8\cdot {{\left[ {{(90-x)}^{2}} \right]}^{\prime }}}{{{(90-x)}^{4}}} \right) & =0  \\    \Leftrightarrow  & -\frac{2}{{{x}^{3}}}+\frac{-8\cdot [-2\cdot (90-x)]}{{{(90-x)}^{4}}} & =0  \\    \Leftrightarrow  & -\frac{2}{{{x}^{3}}}+\frac{16}{{{(90-x)}^{3}}} & =0  \\    \Leftrightarrow  & 8{{x}^{3}} & ={{(90-x)}^{3}}  \\    \Leftrightarrow  & {{(2x)}^{3}} & ={{(90-x)}^{3}}  \\    \Leftrightarrow  & 2x & =90-x  \\    \Leftrightarrow  & x & =30  \\ \end{array}\)

Bảng biến thiên

Vậy cường độ ánh sáng tại điểm đó nhỏ nhất khi: \(SM=30(\text{cm})\).

Gọi xác suất người gửi tiết kiệm ở nhóm 2 là x .

Suy ra số người không gửi tiết kiệm ở nhóm 2 bằng \(1-\mathrm{x}\).

Vì tỷ lệ người gửi tiết kiệm của nhóm 1 gấp đôi người gửi tiết kiệm của nhóm 2 , nên ta có xác suất người gửi tiết kiệm ở nhóm 1 là 2 x . Do đó, số người không gửi tiết kiệm ở nhóm 1 bằng \(1-2 x\).

Từ đó, ta có sơ đồ cây như sau:

Từ sơ đồ cây, ta có xác suất người không gửi tiết kiệm ở vùng A là \(\mathrm{P}\) không gửi tiết kiệm \(=0,4 \cdot(1-2 \mathrm{x})+0,6 \cdot(1-\mathrm{x})=0,58\).

(Vì giả thiết cho biết \(58 \%\) người không gửi tiết kiệm)

\(\Rightarrow \mathrm{x}=0,3\).

Ta có xác suất người có thu nhập tốt khi biết người đó không gửi tiết kiệm là

\(\mathrm{P}\) (thu nhập tốt \(\mid\) không gửi tiết kiệm) \(=\mathrm{P}\) người có thu nhập tốt và không gửi tiết kiệm) / \(\mathrm{P}\) (không gửi tiết kiệm)

\(=\frac{0,4 \cdot(1-2 x)}{0,58}=\frac{0,4 \cdot 0,4}{0,58} \approx 28 \% .\)

Vì máy bay bay theo hướng cũ (cùng chiều với vectơ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ) đến điểm C nên suy ra \(\mathrm{C} \in \mathrm{AB}\). (xem hình vẽ dưới).

Dựa vào dữ kiện bài toán, ta có:

\(\mathrm{A}(0 ;-0,6 ; 0), \mathrm{B}(0 ; 0 ; 0,3), \mathrm{M}(0,4 ; 0 ; 0) .\)

+) Viết phương trình đường thẳng AB để tham số toạ độ điểm C .

\(\begin{align}& \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0 ; 0,6 ; 0,3) \\& \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{u}}_{\mathrm{AB}}=(0 ; 2 ; 1) .\end{align}\)

Suy ra \(A B:\left\{\begin{array}{l}x=0  y=2 t  z=0,3+t\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow \mathrm{C}(0 ; 2 \mathrm{t} ; 0,3+\mathrm{t}),(\mathrm{t}>0)\).

(Vì máy bay càng bay sẽ càng cao, nên

\(\left.\mathrm{z}_{\mathrm{C}}>\mathrm{z}_{\mathrm{B}} \Leftrightarrow 0,3+\mathrm{t}>0,3 \Leftrightarrow \mathrm{t}>0\right)\)

+) Ta có \(\overrightarrow{\mathrm{MB}}=(-0,4 ; 0 ; 0,3)\),

\(\overrightarrow{\mathrm{MC}}=(-0,4 ; 2 \mathrm{t} ; 0,3+\mathrm{t})\).

Vì radar quay từ B đến C một góc bằng \(60^{\circ}\)

Nên \(\widehat{\mathrm{BMC}}=60^{\circ}\) hay \((\overrightarrow{\mathrm{MB}}, \overrightarrow{\mathrm{MC}})=60^{\circ}\).

\(\Rightarrow \cos (\overrightarrow{\mathrm{MB}}, \overrightarrow{\mathrm{MC}})=\frac{(-0,4) \cdot(-0,4)+0.2 \mathrm{t}+0,3 \cdot(0,3+\mathrm{t})}{\sqrt{(-0,4)^{2}+0^{2}+0,3^{2}} \cdot \sqrt{(-0,4)^{2}+(2 \mathrm{t})^{2}+(0,3+\mathrm{t})^{2}}}\)

\(\Leftrightarrow \cos 60^{\circ}=\frac{0,16+0,09+0,3 \mathrm{t}}{0,5 \cdot \sqrt{0,16+4 \mathrm{t}^{2}+0,09+0,6 \mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{0,25+0,3 \mathrm{t}}{0,5 \cdot \sqrt{5 \mathrm{t}^{2}+0,6 \mathrm{t}+0,25}}\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow &0,5 \cdot \sqrt{5 \mathrm{t}^{2}+0,6 \mathrm{t}+0,25}&=2(0,25+0,3 \mathrm{t})\\ \Leftrightarrow &0,5 \cdot \sqrt{5 \mathrm{t}^{2}+0,6 \mathrm{t}+0,25}&=0,5+0,6 \mathrm{t}\\ \Leftrightarrow &\sqrt{5 \mathrm{t}^{2}+0,6 \mathrm{t}+0,25}&=1+1,2 \mathrm{t}\\ \Leftrightarrow &5 \mathrm{t}^{2}+0,6 \mathrm{t}+0,25&=(1+1,2 \mathrm{t})^{2} \\ \Leftrightarrow &5 \mathrm{t}^{2}+0,6 \mathrm{t}+0,25&=1,44 \mathrm{t}^{2}+2,4 \mathrm{t}+1 \\ \Leftrightarrow &3,56 \mathrm{t}^{2}-1,8 \mathrm{t}-0,75&=0 \\ \Leftrightarrow &\mathrm{t}&=0,776819 .\end{array}\)

Vậy \(a+b+c=0+2 t+0,3+t=0,3+3 t=2,630457(k m) \approx 2630 \mathrm{~m}\).

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((0;1)\).

Từ phương trình mặt cầu:

\((S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=4\).

Suy ra tâm của \((S)\) có toạ độ là: \((2;-1;3)\).