Câu hỏi:

Gọi $t$ là thời gian (giờ) sau khi hai tàu khởi hành.

Sau thời gian $t$, tàu $A$ đi được quãng đường $5t$ hải lí về phía Nam.

Sau thời gian $t$, tàu $B$ đi được quãng đường $7t$ hải lí về phía vị trí ban đầu của tàu $A$.

Ta có thể biểu diễn vị trí của hai tàu trên mặt phẳng tọa độ Oxy, với tàu A xuất phát từ gốc tọa độ (0,0) và tàu B xuất phát từ điểm (6,0).

Sau thời gian t, tọa độ của tàu A là (0, -5t) và tọa độ của tàu B là (6 - 7t*cos(α), -7t*sin(α)), với α là góc giữa hướng đi của tàu B và trục Ox.

Tuy nhiên, do tàu B chạy về vị trí của tàu A nên ta có thể sử dụng định lý cosin để tính khoảng cách giữa hai tàu sau thời gian t.

Khoảng cách $d$ giữa hai tàu sau thời gian $t$ là:

$d^2 = (5t)^2 + (7t)^2 - 2 * 5t * 7t * cos(90^{\circ}) + 6^2$

$d^2 = (5t)^2 + (6)^2 + (7t)^2 - 2 * 6 * 7t * cos(\theta)$

$d^2 = (5t)^2 + (7t)^2 + 6^2 - 2 * 5t * 7t * 0$

$d^2 = 25t^2 + 49t^2 + 36$

$d^2 = 74t^2 - 84t + 36$

Để tìm thời gian $t$ sao cho khoảng cách $d$ là nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(t) = d^2 = 74t^2 + 36$.

Ta tìm đạo hàm của $f(t)$ và giải phương trình $f'(t) = 0$:

$f'(t) = 148t - 84$

$148t - 84 = 0$

$t = \frac{84}{148} = \frac{21}{37} \approx 0.567$

Vậy $t \approx 0.57$ giờ.

Nếu tàu B chạy theo hướng Nam thì khoảng cách giữa 2 tàu là: $d(t)=\sqrt{6^2+(7t-5t)^2} = \sqrt{36+4t^2}$ --> Min tại t=0, d=6.

Do tàu B chạy về vị trí tàu A nên ta dùng định lý cosin để tính khoảng cách giữa 2 tàu.

$d^2 = (5t)^2 + (7t)^2 - 2 * (5t) * (7t) * cos(θ)$

Với θ là góc giữa hướng nam và hướng tàu B.

Sau thời gian t, khoảng cách $d$ giữa hai tàu là:

$d(t)^2=(5t)^2 + (7t)^2 -2(5t)(7t)cos90 + 6^2$

$d(t) = \sqrt{36 + (2t)^2}$ -> min =6 khi t=0

Gọi x là khoảng cách tàu B đi được đến vị trí hiện tại của tàu A. Ta có $x = 7t$.

Áp dụng định lý cosin:

$d^2 = (5t)^2 + x^2 - 2(5t)(x)cos(θ)$

$d^2 = 5t^2 + (6-7t)^2 = 25t^2 + 36 - 84t + 49t^2 = 74t^2 -84t +36$

$t = -b/2a = 84/148 \approx 0.567$

$d(t) = \sqrt{(5t)^2+(6-7t)^2}$

Giá trị gần nhất là 0.54 giờ

Gọi $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$, $\vec{F_3}$ là ba lực tác dụng lên vật.

$\vec{F_{12}} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$

Vì $\vec{F_1} \perp \vec{F_2}$ nên:

$F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 N$

Vì $\vec{F_3}$ vuông góc với mặt phẳng tạo bởi $\vec{F_1}$ và $\vec{F_2}$ nên $\vec{F_3} \perp \vec{F_{12}}$

Hợp lực của ba lực là:

$\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{F_{12}} + \vec{F_3}$

$F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.07 N$

Làm tròn đến hàng phần chục ta được $F \approx 7.1 N$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SM$. Ta có:

• $BC \perp AM$ (tam giác $ABC$ đều)
• $BC \perp SA$ (do $SA \perp (ABC)$)

$\Rightarrow BC \perp (SAM) \Rightarrow BC \perp AH$.

Do đó $AH \perp (SBC)$. Vì $M$ thuộc $BC$ nên $AH \perp (SBM)$.

Vậy $d(A,(SBM)) = AH$.

Ta có $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2}$.

$AM = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

$SA = AM \cdot tan(\alpha) = \sqrt{3} \cdot tan(30^\circ) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1$.

$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{(\sqrt{3})^2} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow AH^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow AH = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Gọi $I$ là trung điểm $BM$, $d(A, (SBM))=h$

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AI^2}$

$AI=\sqrt{AB^2-BI^2}=\sqrt{4-0.25}=\frac{\sqrt{15}}{2}$

$\frac{1}{h^2}=1+\frac{4}{15}=\frac{19}{15}
h=\sqrt{\frac{15}{19}}=\frac{\sqrt{285}}{19}=\frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{57}}{19}=\frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{19}}{19}=\frac{\sqrt{15}\cdot\sqrt{19}}{19}=\frac{\sqrt{285}}{19} \approx 0.89$

Đáp án gần nhất là $\frac{2\sqrt{39}}{39} \approx 0.32$