JavaScript is required

Câu hỏi:

Một cốc nước hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao Trong cốc chứa một lượng nước bằng thể tích cốc. Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá Con quạ thông minh đã mổ những viên sỏi hình cầu có bán kính thả vào cốc để mực nước dâng lên. Hỏi để uống được nước, con quạ cần thả ít nhất bao nhiêu viên sỏi?

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $r$ là bán kính đáy cốc, $h$ là chiều cao của cốc. Thể tích của cốc là: $V = \pi r^2 h = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 (8\sqrt{3}) = \pi \frac{25 \cdot 2}{4} 8\sqrt{3} = 100\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$) Thể tích nước trong cốc là: $V_n = \frac{1}{4}V = 25\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$) Thể tích phần còn trống của cốc là: $V_t = V - V_n = 100\pi \sqrt{3} - 25\pi \sqrt{3} = 75\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$) Để con quạ uống được nước, mực nước phải dâng lên ít nhất đến độ cao $8\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ cm. Thể tích cần thiết để mực nước đạt đến độ cao đó là $V_{can} = \pi r^2 (6\sqrt{3}) - V_n = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 (6\sqrt{3}) - 25\pi \sqrt{3} = \pi \frac{25 \cdot 2}{4} 6\sqrt{3} - 25\pi \sqrt{3} = 75\pi \sqrt{3} - 25\pi \sqrt{3} = \frac{75}{2}\pi \sqrt{3} - 25\pi\sqrt{3} = \frac{25}{2}\pi \sqrt{3} $ $\pi \sqrt{3}(37.5 - 25) = 12.5\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$) Thể tích một viên sỏi là: $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3} \pi (3\sqrt{3}) = 4\pi \sqrt{3}$ (cm$^3$) Số viên sỏi cần thả vào là: $n = \frac{12.5\pi \sqrt{3}}{4\pi \sqrt{3}} = \frac{12.5}{4} = 3.125$. Vì số viên sỏi phải là số nguyên nên cần ít nhất 4 viên sỏi. Nhưng mà mực nước cách miệng cốc không quá $2\sqrt{3}$. Do đó thể tích cần thiết là $V_{can} = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 (6\sqrt{3}) - 25\pi \sqrt{3} = \frac{75}{2} \pi \sqrt{3} - 25 \pi \sqrt{3} = \frac{25}{2} \pi \sqrt{3} \approx 68.00 \text{cm}^3$ Số viên sỏi cần là $\frac{68}{4\pi \sqrt{3}} \approx \frac{68}{21.76} \approx 3.125$. Vậy cần 4 viên. Chiều cao của mực nước sau khi bỏ $x$ viên sỏi là $h_x = \frac{V_n + xV_s}{\pi r^2} = \frac{25\pi \sqrt{3} + x4\pi \sqrt{3}}{\pi (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{25\sqrt{3} + 4x\sqrt{3}}{\frac{50}{4}} = \frac{4(25\sqrt{3} + 4x\sqrt{3})}{50} = \frac{2(25\sqrt{3} + 4x\sqrt{3})}{25} = 2\sqrt{3} + \frac{8x\sqrt{3}}{25}$ Để mực nước cách miệng cốc không quá $2\sqrt{3}$ thì $8\sqrt{3} - h_x \le 2\sqrt{3}$ hay $h_x \ge 6\sqrt{3}$ $2\sqrt{3} + \frac{8x\sqrt{3}}{25} \ge 6\sqrt{3}$ suy ra $\frac{8x\sqrt{3}}{25} \ge 4\sqrt{3}$ suy ra $8x \ge 100$ suy ra $x \ge 12.5$. Vậy cần ít nhất 13 viên.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan