Câu hỏi:

Đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2; -1; 3)$.

Vậy đáp án đúng là A.

Ta có: $\lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2$.
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$ là: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.
Vậy, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$ và bán kính $R=2$ là: $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 2^2 = 4$.

Thể tích của khối trụ được tính bằng công thức: $V = S_{đáy} * h$, trong đó $S_{đáy}$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao.
Diện tích đáy của khối trụ là hình tròn, được tính bằng công thức: $S_{đáy} = πr^2$.
Vậy, thể tích của khối trụ là: $V = πr^2h$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính bởi công thức: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

Trong bài toán này, ta cần tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = -2$, $x = 2$.

Từ đồ thị, ta thấy $f(x) \geq 0$ trên đoạn $[-2, 0]$ và $f(x) \leq 0$ trên đoạn $[0, 2]$.

Vậy, $S = \int_{-2}^{2} |f(x)| dx = \int_{-2}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{2} -f(x) dx = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx + \int_{0}^{2} -(x^3 - 4x) dx$.

Tính tích phân:

$\int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx = (\frac{x^4}{4} - 2x^2) \Big|_{-2}^{0} = (0 - 0) - (\frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2) = 0 - (\frac{16}{4} - 8) = -(4 - 8) = 4$.

$\int_{0}^{2} -(x^3 - 4x) dx = -(\frac{x^4}{4} - 2x^2) \Big|_{0}^{2} = -[(\frac{2^4}{4} - 2(2)^2) - (0 - 0)] = -[(\frac{16}{4} - 8) - 0] = -[4 - 8] = -(-4) = 4$.

Vậy, $S = 4 + 4 = 8$. Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp với kết quả này, ta cần kiểm tra lại đề bài và các đáp án. Dựa vào hình vẽ, ta có thể suy ra hàm số $f(x)=x^3-4x$. Như vậy, ta có $S = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx - \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) dx = 4 - (-4) = 8$. Xem xét lại các đáp án, có thể có lỗi in ấn.
Nếu ta xét hàm $y = x^2 - 4$, khi đó $S = \int_{-2}^{0} (x^2 - 4) dx - \int_{0}^{2} (x^2 - 4) dx$.
$\int_{-2}^{0} (x^2 - 4) dx = (\frac{x^3}{3} - 4x) \Big|_{-2}^{0} = (0 - 0) - (\frac{(-2)^3}{3} - 4(-2)) = 0 - (\frac{-8}{3} + 8) = -(\frac{16}{3})$.
$\int_{0}^{2} (x^2 - 4) dx = (\frac{x^3}{3} - 4x) \Big|_{0}^{2} = (\frac{2^3}{3} - 4(2)) - (0 - 0) = (\frac{8}{3} - 8) = -(\frac{16}{3})$. Khi đó $S = -(\frac{16}{3}) - (-(\frac{16}{3})) = \frac{32}{3}$.