Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ \(Oxyz\) có \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \(Ox,Oy,Oz\) và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 mét. Cho hai điểm \(A\) và \(B\), trong đó điểm \(A\) có tọa độ là \(\left( 6;6;0 \right)\). Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian \(t\) (giây) theo công thức \(v\left( t \right)=\beta t+300\) (m/giây), trong đó \(\beta \) là hằng số dương và \(0\le t\le 6\). Ở thời điểm ban đầu \(\left( t=0 \right)\), vật đi qua \(A\) với tốc độ \(300\) m/giây và hướng tới \(B\). Sau \(2\) giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường \(608~m\). Gọi \(\vec{u}=\left( a;b;c \right)\) là vectơ cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{AB}\). Biết rằng \(\left| {\vec{u}} \right|=1\) và góc giữa vectơ \(\vec{u}\) lần lượt với các vectơ \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) có số đo tương ứng bằng \({{60}^{\circ }},{{60}^{\circ }},{{45}^{\circ }}\).

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, trục Oy trùng với cạnh AD, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khi đó, ta có tọa độ các điểm như sau: A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0).

Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ của H là \((\frac{0+2+2}{3},\frac{0+0+2}{3},0)=(\frac{4}{3},\frac{2}{3},0).\)

Vì SH vuông góc với (ABCD) và \(SH = \sqrt{2}\) nên tọa độ của S là \((\frac{4}{3},\frac{2}{3},\sqrt{2})\)

Vectơ chỉ phương của AC là \(\overrightarrow{AC}=C-A=(2,2,0).\)

Vectơ chỉ phương của SD là:

\(\overrightarrow{SD}=D-S=(0-\frac{4}{3},2-\frac{2}{3},0-\sqrt{2})=(-\frac{4}{3},\frac{4}{3},-\sqrt{2}).\)

Tích có hướng của \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{SD}\) là 

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SD} & =(2,2,0)\times (-\frac{4}{3},\frac{4}{3},-\sqrt{2})  \\   {} & =(-2\sqrt{2},2\sqrt{2},\frac{8}{3}-(-\frac{8}{3}))  \\   {} & =(-2\sqrt{2},2\sqrt{2},\frac{16}{3}).  \\\end{array}\)

Chọn điểm \(A(0,0,0)\) trên AC và điểm \(S(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\sqrt{2})\) trên SD.

\(\overrightarrow{AS}=S-A=(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\sqrt{2}).\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là

\(\begin{array}{*{35}{l}}   d(AC,SD) & =\frac{|\overrightarrow{AS}.[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{SD}]|}{|[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{SD}]|}  \\   {} & =\frac{\left| \left( \frac{4}{3},\frac{2}{3},\sqrt{2} \right)\cdot -\left( 2\sqrt{2},2\sqrt{2},\frac{16}{3} \right) \right|}{\sqrt{8+8+\frac{256}{9}}}  \\   {} & =\frac{\left| \frac{-8\sqrt{2}}{3}+\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{16\sqrt{2}}{3} \right|}{\sqrt{\frac{144+256}{9}}}\text{ }=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{400}{9}}}\approx 0,85.  \\\end{array}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là \(0,85\).

Hàm doanh thu: \(F\left( x \right)=-0,01{{x}^{2}}+400x\) và hàm tổng chi phí \(C\left( x \right)=x.G\left( x \right)=30000+270x\)

Hàm lợi nhuận: \(P\left( x \right)=F\left( x \right)-C\left( x \right)=\left( -0,01{{x}^{2}}+400x \right)-\left( 30000+270x \right)\)

Rút gọn ta được: \(P\left( x \right)=F\left( x \right)-C\left( x \right)=-0,01{{x}^{2}}+130x-30000\)

Đổi 100 triệu đồng \(=100000\) (nghìn đồng)

Theo yêu cầu, ta có bất phương trình:

\(-0,01{{x}^{2}}+130x-30000>100000\)

\(\Leftrightarrow -0,01{{x}^{2}}+130x-130000>0\)

\(\Leftrightarrow 1091.7<x<11908.3\)

Kết hợp điều kiện bài toán \(x\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\) và \(1\le x\le 4500\)

Suy ra doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất \(1092\) sản phẩm thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xét trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) có đường tròn tâm gốc tọa độ \(O\), bán kính \(5,7\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\) là đường tròn thiết diện lớn nhất cắt khối cầu đề cho. Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua tâm \(O\) của khối cầu và \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\) sao cho cách khối cầu 1 khoảng là \(a\) và biết rằng đường tròn giao tuyến tạo bởi \(\left( Q \right)\) có bán kính bằng \(3,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\).

Khi ấy \(a\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa đường tròn \(\left( C \right):y=\sqrt{5,{{7}^{2}}-{{x}^{2}}}\) và đường thẳng \(y=3,5\). Tức ta có phương trình sau:

\(\sqrt{5,{{7}^{2}}-{{x}^{2}}}=3,5\Leftrightarrow x=\sqrt{5,{{7}^{2}}-3,{{5}^{2}}}=\frac{\sqrt{506}}{5}\)

Nhận thấy vật thể \(H\) để khoét vào khối chóp cụt có dạng là chỏm cầu có bán kính bằng \(3,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\), khi ấy chiều cao của chỏm này chính bằng \(h=5,5-a=5,5-\frac{\sqrt{506}}{5}<1,5\left( \text{cm} \right)\) (hợp lệ)

Khi ấy thể tích \(\left( H \right)\) là: \({{V}_{a}}=\pi \int\limits_{\frac{\sqrt{506}}{5}}^{5,7}{{{\left( \sqrt{5,{{7}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}dx=A\left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\)

Tại khối chóp cụt, ta thực hiện cắt một mặt phẳng qua đường cao khối chóp và vuông góc với hai đáy, khi ấy ta mô hình hóa được mặt cắt là hình thang vuông \(ABCD\) như hình vẽ dưới (trong đó \(A,D\) lần lượt là tâm mặt đáy bé và đáy lớn của chóp cụt)

Gọi \(E=AD\cap BC\), theo định lí Thales ta có: \(\frac{EA}{ED}=\frac{AB}{CD}\Leftrightarrow \frac{EA}{EA+1,5}=\frac{3.7}{5,2}\Leftrightarrow EA=3,7\left( \text{cm} \right)\).

Suy ra \(ED=EA+AD=5,2\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\).

Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích khối chóp đều đáy là hình vuông cạnh \(7,4\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\) và đường cao \(EA=3,7\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm }\!\!~\!\!\text{ }\)

\({{V}_{2}}\) là thể tích khối chóp đều đáy là hình vuông cạnh \(10,4\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\) và đường cao \(ED=5,2\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\)

Khi đó thể tích khối chóp cụt bằng:

\({{V}_{b}}={{V}_{2}}-{{V}_{1}}=\frac{1}{3}\left( {{(10,4)}^{2}}.5,2-{{(7,4)}^{2}}.3,7 \right)=119,94\left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta suy ra thể tích khối chân đế là:

\({{V}_{a}}-{{V}_{b}}=119,94-A=95,9\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ c}{{\text{m}}^{3}} \right)\).

Gọi \(x\) là số lượng thực đơn 1 bán được và \(y\) là số lượng thực đơn 2 bán được. Điều kiện: \(x \ge 0,  y \ge 0\).

Thực đơn 1 có 2 cốc nước chanh và 1 túi khoai chiên. Thực đơn 2 có 3 cốc nước chanh và 2 túi khoai chiên. Tổng số nước chanh không quá 165 cốc và tổng số khoai chiên không quá 100 túi. Ta có hệ bất phương trình sau:

\(2x+3y\le 165\)

\(x+2y\le 100\)

\(x\ge 0,y\ge 0\)

Thực đơn 1 có giá 35 nghìn đồng và thực đơn 2 có giá 55 nghìn đồng. Hàm mục tiêu biểu diễn tổng số tiền thu được là:

\(f(x,y)=35x+55y\)

Vẽ các đường thẳng \(2x+3y=165\) và \(x+2y=100\) trên mặt phẳng tọa độ. Miền nghiệm là miền bị giới hạn bởi các đường thẳng này và các trục tọa độ.

Các đỉnh của miền nghiệm là giao điểm của các đường thẳng:

- (0, 0)

- (0, 50)

- (82.5, 0)

- Giao điểm của \(2x+3y=165\) và \(x+2y=100\). Giải hệ phương trình này, ta được \(x=30\) và \(y=35\).

Vậy giao điểm là (30, 35).

Tính \(f(x,y)=35x+55y\) tại các đỉnh:

- \(f(0, 0) = 0\)

- \(f(0, 50) = 35(0) + 55(50) = 2750\)

- \(f(82.5, 0) = 35(82.5) + 55(0) = 2887.5\)

- \(f(30, 35) = 35(30) + 55(35) = 1050 + 1925 = 2975\)

Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu là \(2975\), đạt được tại (30, 35).

Vậy, số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng là \(2975\) nghìn đồng.

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)=A_{9}^{6}=60480\) (cách)

Để giải được mật thư, các số được chọn và xếp phải thỏa mãn cấp số cộng \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   A+B=2M  \\   B+C=2N  \\   C+A=2P  \\\end{array} \right.\)

Do đó tổng \(A+B;B+C;C+A\) phải là các số chẵn (Điều này xảy ra khi \(A,B,C\) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ)

Suy ra ta phải đi tìm bộ 6 số phân biệt \(\left\{ A,B,C,M,N,P \right\}\) trong \(S\) thỏa mãn điều kiện:

Trong tập \(S\) có \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   L=\left\{ 21;23;25;27;29 \right\}  \\   C=\left\{ 22;24;26;28 \right\}  \\\end{array} \right.\) có 5 số chẵn và 4 số lẻ

Trường hợp 1: Ba số \(A,B,C\) đều là các số lẻ.

Ta cần chọn 3 số lẻ khác nhau từ tập \(L\) làm \(A;B;C\).

Sau đó, các số \(M,N,P\) sẽ được tính theo công thức.

Ta phải kiểm tra xem bộ 6 số tạo thành có phân biệt và đều thuộc \(S\) hay không.

Các bộ 3 số lẻ \(\left\{ A,B,C \right\}\) có thể và các bộ 6 số tương ứng \(\left\{ A,B,C,M,N,P \right\}\(:

\(\left\{ 21,23,27 \right\}\Rightarrow M=22,N=25,P=24\).

Bộ 6 số: \(\left\{ 41,43,47,42,45,44 \right\}\) (thỏa mãn)

\(\left\{ 21,23,29 \right\}\Rightarrow M=22,N=26,P=25\).

Bộ 6 số: \(\left\{ 21,23,29,22,26,25 \right\}\) (thỏa mãn)

\(\left\{ 21,25,27 \right\}\Rightarrow M=23,N=26,P=24\).

Bộ 6 số: \(\left\{ 21,25,27,23,26,44 \right\}\) (thỏa mãn)

\(\left\{ 21,27,29 \right\}\Rightarrow M=24,N=28,P=25\).

Bộ 6 số: \(\left\{ 21,27,29,24,28,25 \right\}\) (thỏa mãn)

\(\left\{ 23,25,29 \right\}\Rightarrow M=24,N=27,P=26\).

Bộ 6 số: \(\left\{ 23,25,29,24,27,26 \right\}\) (thỏa mãn)

\(\left\{ 23,27,29 \right\}\Rightarrow M=25,N=28,P=26\).

Bộ 6 số: \(\left\{ 23,27,29,25,28,26 \right\}\) (thỏa mãn)

Lưu ý: Các bộ như \(\left\{ 21,23,25 \right\}\) sẽ bị loại vì \(P=\frac{\left( 21+25 \right)}{2}=23\), trùng với \(B\).

Trường hợp 2: Ba số \(A,B,C\) đều là các số chẵn.

Ta cần chọn 3 số chẵn khác nhau từ tập \(C\) làm \(A;B;C\).

\(\left\{ 22,24,28 \right\}\Rightarrow M=23,N=26,P=45\).

Bộ 6 số: \(\left\{ 22,24,28,23,26,25 \right\}\) (thỏa mãn)

\(\left\{ 22,26,28 \right\}\Rightarrow M=24,N=27,P=25\).

Bộ 6 số: \(\left\{ 22,26,28,24,27,25 \right\}\) (thỏa mãn)

Lưu ý: Các bộ như \(\left\{ 22,24,26 \right\}\) sẽ bị loại vì \(P=\frac{\left( 22+26 \right)}{2}=24\), trùng với \(B\).

Vậy có 2 bộ số thỏa mãn trong trường hợp này nên có \(6+2=8\) bộ 6 số thỏa mãn yêu cầu.

Với mỗi bộ 6 số hợp lệ, ta đã xác định được đâu là 3 số ở các đỉnh \(\left( A;B;C \right)\) và đâu là 3 số ở các cạnh \(\left( M;N;P \right)\).

Ta có thể hoán vị 3 số ở các đỉnh \(\left( A;B;C \right)\) nên cách hoán vị là \(3!=6\) cách.

Khi 3 giá trị \(\left( A;B;C \right)\) đã được gán, các giá trị \(\left( M;N;P \right)\) sẽ được xác định duy nhất theo công thức.

Ví dụ: Với bộ \(\left\{ 21,23,27,22,25,24 \right\}\) thì nếu ta xếp \(A=21;B=23;C=27\) thì bắt buộc giá trị của ba số lần lượt là: \(M=22;N=25;P=24\).

Số cách xếp thuận lợi là: \(n\left( A \right)=8.3!=8.6=48\) (cách)

nên \(P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{48}{60480}=\frac{1}{1260}\).

Vậy giá trị của biểu thức \(\frac{2}{a}=\frac{2}{\frac{1}{1260}}=2.1260=2520\).