Câu hỏi:

Để xác định nhóm chứa trung vị, ta cần thông tin từ Câu 18 (đề bài gốc). Giả sử sau khi phân tích dữ liệu từ Câu 18, ta xác định được trung vị rơi vào khoảng $\left[ {95;100} \right)$. Khi đó, nhóm chứa trung vị là $\left[ {95;100} \right)$.

Ta có $\tan \alpha = -\frac{4}{5}$ và $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ nên $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ IV.


Trong góc phần tư thứ IV, $\sin \alpha < 0$ và $\cos \alpha > 0$.


Ta có $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ nên $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{16}{25}} = \frac{1}{\frac{41}{25}} = \frac{25}{41}$.


Suy ra $\cos \alpha = \pm \frac{5}{\sqrt{41}}$. Vì $\cos \alpha > 0$ nên $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$.


Ta có $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$.


Vậy $\sin \alpha = -\frac{4}{\sqrt{41}}$ và $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$. Đáp án C sai. Đáp án đúng là $\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt {41} }, \cos \alpha = -\frac{5}{\sqrt {41} }$.


Tính $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, và $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.


Vì $\tan \alpha = -\frac{4}{5}$, ta có $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{4}{5}$ hay $\sin \alpha = -\frac{4}{5}\cos \alpha$.


Thay vào $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta được $\left(-\frac{4}{5}\cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$ hay $\frac{16}{25}\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ hay $\frac{41}{25}\cos^2 \alpha = 1$.


Suy ra $\cos^2 \alpha = \frac{25}{41}$ hay $\cos \alpha = \pm \frac{5}{\sqrt{41}}$. Vì $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (góc phần tư thứ IV) nên $\cos \alpha > 0$. Do đó $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$.


Khi đó $\sin \alpha = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$. Vậy không có đáp án đúng.

Ta có:

• $\sin a = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$


• $\sin b = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos b = \sqrt{1 - \sin^2 b} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{6}$

$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{6} - 1}{6}$

$\sin 2(a+b) = 2\sin(a+b)\cos(a+b) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{2\sqrt{6} - 1}{6} = \frac{(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{6} - 1)}{18} = \frac{2\sqrt{18} - \sqrt{3} + 4\sqrt{12} - 2\sqrt{2}}{18} = \frac{6\sqrt{2} - \sqrt{3} + 8\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{18} = \frac{4\sqrt{2} + 7\sqrt{3}}{18}$

Ta có:
$A = \frac{{2{{\cos }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}{{2{{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{{{\cos }^2}2\alpha - {{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha + {{\cos }^2}2\alpha - 1}}{{ - {{\cos }^2}2\alpha + {{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha + {{\sin }^2}2\alpha - 1}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\sin }^2}2\alpha - {{\cos }^2}2\alpha}}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\cos }^2}2\alpha - {{\sin }^2}2\alpha}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 2{{\sin }^2}30^\circ - 2{{\cos }^2}60^\circ }}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\sin }^2}30^\circ - {{\cos }^2}60^\circ }}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + 2\sin 60^\circ \sin 4\alpha - 2{{\sin }^2}30^\circ }}{{ - \cos 4\alpha + 2\sin 60^\circ \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{2(\frac{1}{2}\cos 4\alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 4\alpha ) - 1}}{{ - (\cos 4\alpha + 1) + \sqrt 3 \sin 4\alpha }}$


$= \frac{{2(\cos 30^\circ \sin 4\alpha + \sin 30^\circ \cos 4\alpha ) - 1}}{{ - (\cos 4\alpha + 1) + \sqrt 3 \sin 4\alpha }}$


$= \frac{{2\cos (4\alpha - 30^\circ )}}{{2\cos (4\alpha + 30^\circ )}} = \frac{{\cos (4\alpha - 30^\circ )}}{{\cos (4\alpha + 30^\circ )}}$

Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên các khoảng có dạng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$, với $k \in \mathbb{Z}$.


Ta xét các đáp án:

• Đáp án A: $\left( {\frac{{19\pi }}{2};10\pi } \right) = \left( {9.5\pi ;10\pi } \right)$. Khoảng này không nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến của hàm sin.


• Đáp án B: $\left( { - 6\pi ; - 5\pi } \right)$. Khoảng này không nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến của hàm sin.


• Đáp án C: $\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - 3\pi } \right) = \left( { - 3.5\pi ; - 3\pi } \right)$. $\sin x$ đồng biến trên $\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - 3\pi } \right)$ vì $\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - 3\pi } \right) = \left( { - \frac{{3\pi }}{2} - 2\pi ;\frac{{ - \pi }}{2} - 2\pi } \right)$, thuộc dạng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$ với $k=-1$.


• Đáp án D: $\left( {7\pi ;\frac{{15\pi }}{2}} \right) = \left( {7\pi ;7.5\pi } \right)$. Khoảng này không nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến của hàm sin.

Vậy đáp án đúng là C.