Câu hỏi:

Ta có $\tan \alpha = -\frac{4}{5}$ và $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ nên $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ IV.


Trong góc phần tư thứ IV, $\sin \alpha < 0$ và $\cos \alpha > 0$.


Ta có $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ nên $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{16}{25}} = \frac{1}{\frac{41}{25}} = \frac{25}{41}$.


Suy ra $\cos \alpha = \pm \frac{5}{\sqrt{41}}$. Vì $\cos \alpha > 0$ nên $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$.


Ta có $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$.


Vậy $\sin \alpha = -\frac{4}{\sqrt{41}}$ và $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$. Đáp án C sai. Đáp án đúng là $\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt {41} }, \cos \alpha = -\frac{5}{\sqrt {41} }$.


Tính $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, và $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.


Vì $\tan \alpha = -\frac{4}{5}$, ta có $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{4}{5}$ hay $\sin \alpha = -\frac{4}{5}\cos \alpha$.


Thay vào $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta được $\left(-\frac{4}{5}\cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$ hay $\frac{16}{25}\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ hay $\frac{41}{25}\cos^2 \alpha = 1$.


Suy ra $\cos^2 \alpha = \frac{25}{41}$ hay $\cos \alpha = \pm \frac{5}{\sqrt{41}}$. Vì $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (góc phần tư thứ IV) nên $\cos \alpha > 0$. Do đó $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}$.


Khi đó $\sin \alpha = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$. Vậy không có đáp án đúng.

Ta có:

• $\sin a = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$


• $\sin b = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos b = \sqrt{1 - \sin^2 b} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{6}$

$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{6} - 1}{6}$

$\sin 2(a+b) = 2\sin(a+b)\cos(a+b) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{2\sqrt{6} - 1}{6} = \frac{(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{6} - 1)}{18} = \frac{2\sqrt{18} - \sqrt{3} + 4\sqrt{12} - 2\sqrt{2}}{18} = \frac{6\sqrt{2} - \sqrt{3} + 8\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{18} = \frac{4\sqrt{2} + 7\sqrt{3}}{18}$

Ta có:
$A = \frac{{2{{\cos }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}{{2{{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{{{\cos }^2}2\alpha - {{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha + {{\cos }^2}2\alpha - 1}}{{ - {{\cos }^2}2\alpha + {{\sin }^2}2\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha + {{\sin }^2}2\alpha - 1}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\sin }^2}2\alpha - {{\cos }^2}2\alpha}}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\cos }^2}2\alpha - {{\sin }^2}2\alpha}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - 2{{\sin }^2}30^\circ - 2{{\cos }^2}60^\circ }}{{ - \cos 4\alpha + \sqrt 3 \sin 4\alpha - {{\sin }^2}30^\circ - {{\cos }^2}60^\circ }}$


$= \frac{{\cos 4\alpha + 2\sin 60^\circ \sin 4\alpha - 2{{\sin }^2}30^\circ }}{{ - \cos 4\alpha + 2\sin 60^\circ \sin 4\alpha - 1}}$


$= \frac{{2(\frac{1}{2}\cos 4\alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 4\alpha ) - 1}}{{ - (\cos 4\alpha + 1) + \sqrt 3 \sin 4\alpha }}$


$= \frac{{2(\cos 30^\circ \sin 4\alpha + \sin 30^\circ \cos 4\alpha ) - 1}}{{ - (\cos 4\alpha + 1) + \sqrt 3 \sin 4\alpha }}$


$= \frac{{2\cos (4\alpha - 30^\circ )}}{{2\cos (4\alpha + 30^\circ )}} = \frac{{\cos (4\alpha - 30^\circ )}}{{\cos (4\alpha + 30^\circ )}}$

Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên các khoảng có dạng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$, với $k \in \mathbb{Z}$.


Ta xét các đáp án:

• Đáp án A: $\left( {\frac{{19\pi }}{2};10\pi } \right) = \left( {9.5\pi ;10\pi } \right)$. Khoảng này không nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến của hàm sin.


• Đáp án B: $\left( { - 6\pi ; - 5\pi } \right)$. Khoảng này không nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến của hàm sin.


• Đáp án C: $\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - 3\pi } \right) = \left( { - 3.5\pi ; - 3\pi } \right)$. $\sin x$ đồng biến trên $\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - 3\pi } \right)$ vì $\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - 3\pi } \right) = \left( { - \frac{{3\pi }}{2} - 2\pi ;\frac{{ - \pi }}{2} - 2\pi } \right)$, thuộc dạng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$ với $k=-1$.


• Đáp án D: $\left( {7\pi ;\frac{{15\pi }}{2}} \right) = \left( {7\pi ;7.5\pi } \right)$. Khoảng này không nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến của hàm sin.

Vậy đáp án đúng là C.