Câu hỏi:

Để $A \cap B \neq \varnothing$ thì điều kiện là $\left\{\begin{array}{l}m-1 \leq \frac{m+3}{2} \\ {\left[\begin{array}{l}m-1<-3 \\ \frac{m+3}{2} \geq 3\end{array}\right.}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m \leq 5 \\ {\left[\begin{array}{l}m<-2 \\ m \geq 3\end{array} .\right.}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<-2 \\ 3 \leq m \leq 5\end{array}\right.$

Vậy $m \in(-\infty ;-2) \cup[3 ; 5]$.

Gọi $T ,  L$ lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lí.

Ta có:

\(n\left( T \right)\) : là số học sinh giỏi Toán

\(n\left( L \right)\) : là số học sinh giỏi Lí

\(n\left( {T \cap L} \right)\) : là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lí

Khi đó số học sinh của lớp là: \(n\left( {T \cup L} \right) + 6\) .

Mà \(n\left( {T \cup L} \right) = n\left( T \right) + n\left( L \right) - n\left( {T \cap L} \right) = 25 + 23 - 14 = 34\) .

Vậy số học sinh của lớp là \(34 + 6 = 40\) học sinh.

Do \(x > 0,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) nên ta có \(\frac{y}{3} < 1 \Leftrightarrow y < 3\)

Do y nguyên dương nên \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\) .

Với \(y = 1\) , ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ \frac{x}{2} + \frac{1}{3} - 1 \le 0}\\{x > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 1\) .

Với \(y = 2\) , ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ \frac{x}{2} + \frac{2}{3} - 1 \le 0}\\{x > 0}\end{array}} \right.\)

Vậy bất phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) có nghiệm nguyên dương là \(\left( {1;1} \right)\) .

Gọi x và y lần lượt lần lượt là số ha cà phê và cacao mà hộ nông dân này trồng \(\left( {x \ge 0;\,y \ge 0} \right)\) .

Lợi nhận thu được là \(f\left( {x;y} \right) = 10x + 12y\) (triệu đồng).

Vì số công để trồng cà phê không vượt quá 100 nên:

\(20x \le 100\) hay \(x \le 5\) .

Vì số công để trồng cacao không vượt quá 180 nên:

\(30y \le 180\) hay \(y \le 6\) .

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ x + y \le 10}\\{0 \le x \le 5}\\{0 \le y \le 6}\end{array}} \right.\) .

Miền nghiệm của hệ là ngũ giác OABCD (kể cả biên) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {5;0} \right),\,B\left( {5;5} \right),\,C\left( {4;6} \right),\,D\left( {0;6} \right)\) .

Dễ thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 4;\,y = 6\) .

Vậy cần trồng 4 ha cà phê và 6 ha cacao để thu được lợi nhuận lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ x \ge 1}\\{x \le 2}\\{y \ge 0}\\{y \le 3}\end{array}} \right.\) như sau:

Từ hình vẽ nhận thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD kể cả biên (phần không tô màu) với \(A\left( {1;3} \right);\,B\left( {2;3} \right);\,C\left( {2;0} \right);\,D\left( {1;0} \right)\) .

Người ta chứng minh được: biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại các cặp số (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác ABCD .

Tính giá trị của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - x + 4y\) tại các cặp số (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác ABCD rồi so sánh các giá trị đó ta được giá trị nhỏ nhất bằng \( - 2\) khi \(x = 2;\,y = 0\) .