Một kỹ sư thiết kế mô hình trang trí cho một sân khấu nổi có dạng hình lập phương \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) với độ dài các cạnh bằng \(5\)m. Để tạo ra nét độc đáo cho sân khấu, người kỹ sư muốn thiết kế một dàn đèn ánh sáng nối từ một điểm \(M\) trên đường chéo \(A{{D}_{1}}\) xuống một điểm \(N\) trên mặt đất \(BD\) đồng thời \(AM=DN\). Dàn đèn ánh sáng có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Cách 1:

Đặt \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{a};\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b};\,\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}.\)

Ta có \(\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=\left| \overrightarrow{c} \right|=a;\,\,\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=0\).

Vì \(M\in AD'\) nên \(\Rightarrow \exists \alpha :\overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{AD'}=\alpha \left( \vec{a}+\vec{c} \right)\).

Tương tự \(N\in DB\) nên \(\exists \beta \,:\overrightarrow{DN}=\beta \overrightarrow{DB}=\beta \left( \vec{b}-\vec{c} \right)\).

Mà \(AM=DN\Leftrightarrow \alpha =\beta \)\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\alpha \left( \vec{a}+\vec{c} \right)\) và \(\overrightarrow{DN}=\alpha \left( \vec{b}-\vec{c} \right)\).

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=-\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}+\left( 1-2\alpha  \right)\vec{c}\).

\(\Rightarrow M{{N}^{2}}={{\overrightarrow{MN}}^{2}}={{a}^{2}}\left( 6{{\alpha }^{2}}-4\alpha +1 \right)\).

Xét \(g(\alpha )=6{{\alpha }^{2}}-4\alpha +1\,\,\left( 0\le \alpha \le 1 \right)\) ta có \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( \alpha  \right)=\frac{1}{3}\).

Vậy MN nhỏ nhất khi \(\alpha = \frac{1}{3}\) tức là \(MN=\frac{5\sqrt{3}}{3}\approx 2,89\) (m).

Cách 2:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với điểm \(A\), \(B\) thuộc tia \(Ox\), \(D\) thuộc tia \(Oy\), \({{A}_{1}}\) thuộc tia \(Oz\).

Đặt \(AM=DN=x\sqrt{2}\) thì \(M\left( 0;x;x \right)\) và \(N\left( x;5-x;0 \right)\).

Do đó \(M{{N}^{2}}=6{{x}^{2}}-20x+25\).

Từ đó tìm được \(\min MN=\frac{5\sqrt{3}}{3}\).