Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là \(60 ~m\) và \(80~ m\). Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng \(20 ~m\) (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất \(x\) sản phẩm là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   L\left( x \right) & =F\left( x \right)-xG\left( x \right)  \\   {} & ={{x}^{2}}-1999{{x}^{2}}+1001000x+250000-x\left( x+1000+\frac{250000}{x} \right)  \\   {} & ={{x}^{3}}-2000{{x}^{2}}+1000000x.  \\\end{array}\)

\({{L}^{\prime }}(x)=3{{x}^{2}}-4000x+1000000\)

\({{L}^{\prime }}(x)=3{{x}^{2}}-4000x+1000000=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=1000  \\   x=\frac{1000}{3}  \\\end{array}. \right.\)

Trong khoảng \((0;500),{{L}^{\prime }}(x)=0\) khi \(x=\frac{1000}{3}\).

Ta có \(L(1)=998001,L\left( \frac{1000}{3} \right)\approx 148148148,L(500)=125000000\).

Khi đó, \(\underset{_{[0:500]}}{\mathop{\max }}\,L(x)=L\left( \frac{1000}{3} \right)\).

Do số sản phẩm là số nguyên, nên ta xét giá trị của hàm số tại hai điểm nguyên trước và sau giá trị \(\frac{1000}{3}\) là \(333\) và \(334\).

Ta có: \(f(333)=148148037;f(334)=148147704\)

\(\Rightarrow f(333)>f(334).\)

Do đó, doanh nghiệp nên sản xuất \(333\) sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Cách 1:

Gọi \(A\) là biến cố: "Lấy được từ hộp II quả bóng được chuyển từ hộp I sang", \(B\) là biến cố: "Lấy được từ hộp II quả bóng có màu đỏ".

Ta cần tính \(P(A|B)\).

Gọi \({{B}_{1}}\) là biến cố: "Lấy được từ hộp I quả bóng màu đỏ", \({{B}_{2}}\) là biến cố: "Lấy được từ hộp I quá bóng màu vàng".

Khi đó \(P\left( {{B}_{1}} \right)=\frac{6}{10},P\left( {{B}_{2}} \right)=\frac{4}{10}; P\left( B|{{B}_{1}} \right)=\frac{8}{11},P\left( B|{{B}_{2}} \right)=\frac{7}{11}\).

Theo công thức xác suất toàn phần:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   P(B) & =P\left( {{B}_{1}} \right)P\left( B|{{B}_{1}} \right)+P\left( {{B}_{2}} \right)P\left( B|{{B}_{2}} \right)  \\   {} & =\frac{6}{10}\cdot \frac{8}{11}+\frac{4}{10}\cdot \frac{7}{11}=\frac{38}{55}.  \\\end{array}\)

Dễ thấy \(P(A)=\frac{1}{11}\) và \(AB=A{{B}_{1}}\).

Vì hai biến cố \(A\) và \({{B}_{1}}\) độc lập nên:

\(P(AB)=P\left( A{{B}_{1}} \right)=P(A)P\left( {{B}_{1}} \right)=\frac{1}{11}\cdot \frac{6}{10}=\frac{3}{55}\).

Xác suất cần tìm là:

\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{55}}{\frac{38}{55}}=\frac{3}{38}\approx 0,08\).

Cách 2:

Ta có: \(n(\Omega )=10.11=110\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Lấy được bóng từ hộp II mà quả đó được chuyển từ hộp I sang",

\(B\) là biến cố: "Lấy được bóng có sẵn từ hộp II",

\(C\) là biến cố: "Lấy được bóng màu đỏ từ hộp II".

Ta có:

\(P(C)=\frac{6.8+4.7}{110}=\frac{76}{110};P(A\cap C)=\frac{6.1}{110}=\frac{6}{110}\).

Xác suất cần tìm là:

\(P(A\mid C)=\frac{P(C\cap A)}{P(C)}=\frac{\frac{6}{110}}{\frac{76}{110}}=\frac{6}{76}\approx 0,08\).

Nguyên hàm của \({{e}^{x}}\) là \({{e}^{x}}+C\).

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\mathop{\int }}}\,{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}dx\).

Mẫu số liệu \({{M}_{1}}\) có \({{n}_{{{M}_{1}}}}=3+4+8+6+4=25\).

Số trung bình của mẫu số liệu \({{M}_{1}}\) là:

\(\overline{{{x}_{{{M}_{1}}}}}=\frac{3.9+4.11+8.13+6.15+4.17}{25}=13,32\).

Phương sai của mẫu số liệu \({{M}_{1}}\) là:

 \(s_2^2=\frac{6(9-13,32)^2+8(11-13,32)^2+16(13-13,32)^2+12(15-13,32)^2+8(17-13,32)^2}{50}=5,9776\)

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu \({{M}_{1}}\) là:

\({{s}_{1}}=\sqrt{{{s}_{1}}^{2}}=\sqrt{5,9776}\approx 2,44\).

Mẫu số liệu \({{M}_{2}}\) có \({{n}_{{{M}_{2}}}}=6+8+16+12+8=50\).

Số trung bình của mẫu số liệu \({{M}_{2}}\) là:

\(\overline{{{x}_{{{M}_{2}}}}}=\frac{6.9+8.11+16.13+12.15+8.17}{50}=13,32.\)

Phương sai của mẫu số liệu \({{M}_{2}}\) là:

 \(s_2^2=\frac{6(9-13,32)^2+8(11-13,32)^2+16(13-13,32)^2+12(15-13,32)^2+8(17-13,32)^2}{50}=5,9776\)

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu \({{M}_{2}}\) là:

\({{s}_{2}}=\sqrt{{{s}_{2}}^{2}}=\sqrt{5,9776}\approx 2,44\).

Vậy \({{s}_{1}}={{s}_{2}}\).