Câu hỏi:

Hoạ sĩ vẽ thiết kế một loại gạch trang trí có dạng như Hình 1, gạch có dạng hình vuông cạnh 8 dm. Khi đặt bản vẽ trong hệ tọa độ Oxy với đơn vị của mỗi trục là 1 dm thì mối nét cong phía trong thuộc một trong hai đường hypebol ${\rm{y}} = - \frac{4}{{\rm{x}}},{\rm{y}} = \frac{4}{{\rm{x}}}$ (Hình 2); các cạnh của viên gạch lần lượt thuộc 4 đường thẳng ${\rm{x}} = - 4,{\rm{x}} = 4,{\rm{y}} = - 4,{\rm{y}} = 4.$ Người ta sơn màu hồng vào phần hình được gạch chéo như Hình 3. Diện tích phần sơn màu hồng là bao nhiêu ${\rm{d}}{{\rm{m}}^2}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hoạ sĩ vẽ thiết kế một loại gạch trang trí có dạng như Hình 1, gạch có dạng hình vuông cạnh 8 dm. Khi đặt bản vẽ trong hệ tọa độ Oxy với đơn vị của mỗi trục là (ảnh 1)

Trả lời:

Đáp án đúng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ${y=\frac{4}{x}}$, trục Ox và đường thẳng $x=1, x=4$ là:
$S = \int_1^4 {\frac{4}{x}dx} = 4\ln x\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\1\end{array}} \right. = 4\ln 4 - 4\ln 1 = 4\ln 4$.
Do đó diện tích một phần gạch chéo là: $16 - 4\ln 4$.
Diện tích hình được sơn hồng là: $2\left( {16 - 4\ln 4} \right) = 32 - 8\ln 4 \approx 30.3 {\rm{d}}{{\rm{m}}^2}$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán theo cấu trúc mới của Bộ GD&DT - Đề 3

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 17:

Bác Hùng có kế hoạch dùng hết $20\;{{\rm{m}}^2}$ kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp ba chiều rộng (các mối ghép không đáng kể). Bể cá có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu ${{\rm{m}}^3}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi chiều rộng của bể cá là $x$ (m), chiều dài là $3x$ (m), chiều cao là $h$ (m). Điều kiện: $x > 0, h > 0$.

Diện tích kính dùng để làm bể cá là:

$S = 3x^2 + 2xh + 2(3x)h = 3x^2 + 8xh = 20$

$=> h = \frac{20 - 3x^2}{8x}$

Thể tích của bể cá là:

$V = 3x^2h = 3x^2(\frac{20 - 3x^2}{8x}) = \frac{3}{8}x(20 - 3x^2) = \frac{3}{8}(20x - 3x^3)$

Xét hàm số $f(x) = 20x - 3x^3$ với $x > 0$.

$f'(x) = 20 - 9x^2$

$f'(x) = 0 <=> x = \pm \frac{2\sqrt{5}}{3}$

Vì $x > 0$ nên ta xét $x = \frac{2\sqrt{5}}{3}$.

Bảng biến thiên:

x	0	$\frac{2\sqrt{5}}{3}$	$+ \infty$
f'(x)		+	0	-
f(x)		$\nearrow$	$\frac{80\sqrt{5}}{9}$	$\searrow$

Vậy $V_{max} = \frac{3}{8} \cdot \frac{80\sqrt{5}}{9} = \frac{10\sqrt{5}}{3} \approx 7.45$

Nhưng ta có điều kiện $h > 0$ nên $20 - 3x^2 > 0 => x < \sqrt{\frac{20}{3}} \approx 2.58$

Xét các giá trị $x$ gần $\frac{2\sqrt{5}}{3} \approx 1.49$, ta có $h$ giảm khi $x$ tăng và $x$ tăng khi $V$ tăng nên ta cần tìm $x$ lớn nhất thỏa $x < \sqrt{\frac{20}{3}}$.

Khi đó $x = \sqrt{\frac{20}{3}}$, suy ra $h = 0$ (loại).

Ta có $V = \frac{3}{8}x(20 - 3x^2)$.

Khi $x = \sqrt{\frac{20}{3}} - \epsilon$ với $\epsilon$ là một số dương rất nhỏ.

Khi đó $V$ sẽ nhỏ hơn $\frac{10\sqrt{5}}{3}$.

Ta có $V \approx 7.45$. Làm tròn đến hàng phần mười, ta được $V = 7.5$

Do đó không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên đáp án gần nhất là $3.1$

Câu 18:

Bạn An chọn ngẫu nhiên 6 đỉnh trong 2025 đỉnh của một đa giác đều. Sau đó bạn Bình chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 6 đỉnh An vừa chọn. Xác suất của biến cố tam giác có 3 đỉnh được Bình chọn không có điểm chung nào với tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm còn lại trong 6 điểm được An chọn là bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi 6 đỉnh An chọn là A, B, C, D, E, F theo thứ tự trên đa giác đều. Ta cần tính xác suất để tam giác tạo bởi 3 đỉnh Bình chọn và tam giác tạo bởi 3 đỉnh còn lại không có đỉnh chung.

Tổng số cách chọn 3 đỉnh từ 6 đỉnh là C(6, 3) = (6!)/(3!3!) = (6 * 5 * 4)/(3 * 2 * 1) = 20.

Để hai tam giác không có đỉnh chung, 3 đỉnh được chọn phải là 3 đỉnh liên tiếp hoặc cách nhau 1 đỉnh.

Các bộ 3 đỉnh liên tiếp là: {A, B, C}, {B, C, D}, {C, D, E}, {D, E, F}, {E, F, A}, {F, A, B}. Có 6 bộ.

Các bộ 3 đỉnh cách nhau 1 đỉnh là: {A, C, E}, {B, D, F}. Có 2 bộ.

Vậy có tổng cộng 6 + 2 = 8 cách chọn 3 đỉnh sao cho hai tam giác không có đỉnh chung.

Xác suất cần tìm là 8/20 = 2/5.

Câu 19:

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 21 học sinh nam và 19 học sinh nữ. Trong 21 bạn nam có đúng 13 bạn cao hơn 1,6 m; trong 19 bạn nữ có đúng 9 bạn cao hơn 1,6 m. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn.

Xác suất của biến cố chọn được bạn nam là $\frac{{21}}{{40}}.$

Xác suất của biến cố chọn được bạn cao hơn $1,6\;{\rm{m}}$ là $\frac{{22}}{{40}}.$

Xác suất của biến cố chọn được bạn cao hơn $1,6\;{\rm{m}}$ biết bạn đó là nam bằng $\frac{9}{{19}}.$

Xác suất của biến cố chọn được bạn cao hơn $1,6\;{\rm{m}}$ biết bạn đó là nữ bằng $\frac{{13}}{{21}}.$

Lời giải:

Đáp án đúng: Sai, Sai, Sai, Sai

Câu 20:

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ${\rm{A}}(1; - 3;0)$ và ${\rm{B}}( - 1;1;2).$

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là $(0; - 1;1).$

$\overrightarrow {{\rm{AB}}} = ( - 2;4;2).$

Bán kính đường tròn đường kính AB bằng $\sqrt {32} .$

Phương trình đường tròn đường kính AB là ${{\rm{x}}^2} + {({\rm{y}} + 1)^2} + {({\rm{z}} - 1)^2} = 32.$

Lời giải:

Đáp án đúng: Sai, Sai, Sai, Sai

Câu 21:

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $f(x) = \cot x,x \ne k\pi ,\forall k \in \mathbb{Z}.$

$f(x) = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.$

${(\sin x)^\prime } = - \cos x.$

${(\ln |\sin x|)^\prime } = f(x).$

$\int f (x)dx = \ln |\sin x| + C.$

Lời giải:

Đáp án đúng: Sai, Sai, Sai, Sai

Câu 22:

Cho hàm số $f(x) = \cot x,x \ne k\pi ,\forall k \in \mathbb{Z}.$

Cho hàm số ${\rm{f}}({\rm{x}}) = \frac{{{\rm{ax}} + {\rm{b}}}}{{{\rm{cx}} + {\rm{d}}}}$ với ${\rm{ac}} \ne 0,{\rm{ad}} - {\rm{bc}} > 0.$

${f^\prime }(x) = \frac{{ad - bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}.$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $\left( { - \infty ;\frac{{ - {\rm{d}}}}{{\rm{c}}}} \right),\left( {\frac{{ - {\rm{d}}}}{{\rm{c}}}; + \infty } \right).$

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là ${\rm{y}} = \frac{{\rm{a}}}{{\rm{c}}}$ và đường tiệm cận ngang là $x = - \frac{d}{c}$

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là ${\rm{I}}\left( {\frac{{ - {\rm{d}}}}{{\rm{c}}};\frac{{\rm{a}}}{{\rm{c}}}} \right).$

Lời giải: