Câu hỏi:

Ta có $u_1 = 1$ và $u_2 = -3$.

Công sai của cấp số cộng là $d = u_2 - u_1 = -3 - 1 = -4$.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n = u_1 + (n-1)d$.

Vậy, $u_4 = u_1 + (4-1)d = 1 + 3(-4) = 1 - 12 = -11$.

Để hàm số nghịch biến, ta cần tìm khoảng mà đạo hàm của hàm số nhỏ hơn 0.

• Tính đạo hàm: $y' = 3x^2 - 6x$


• Giải bất phương trình $y' < 0$: $3x^2 - 6x < 0 \Leftrightarrow 3x(x-2) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $BC$. Vì $SA=SB=SC=1$ và $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc nên tam giác $ABC$ đều cạnh $\sqrt{2}$.

$BC = \sqrt{2}$

$SH \perp BC$ (1)

$AH \perp BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SHA} = \alpha$.

Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ nên $SH = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Tam giác $ABC$ đều nên $AH = \frac{BC\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $SHA$:

$\cos \alpha = \frac{SH^2 + AH^2 - SA^2}{2SH.AH} = \frac{\frac{2}{4} + \frac{6}{4} - 1}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{12}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Cách khác: Tam giác $SHA$ vuông tại $S$ nên $\cos \alpha = \frac{SH}{AH} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm điểm $M(a, b)$ trên đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x+2}$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d: y = 3x + 6$ là nhỏ nhất. Sau đó, tính giá trị của biểu thức $T = 6a^2 + 7b^2$.

* Bước 1: Tìm khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$.
Khoảng cách từ điểm $M(a, b)$ đến đường thẳng $d: 3x - y + 6 = 0$ được tính bởi công thức:
$d(M, d) = \frac{|3a - b + 6|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3a - b + 6|}{\sqrt{10}}$

* Bước 2: Thay $b = \frac{2a + 1}{a + 2}$ vào biểu thức khoảng cách.
$d(M, d) = \frac{|3a - \frac{2a + 1}{a + 2} + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{|3a(a + 2) - (2a + 1) + 6(a + 2)|}{\sqrt{10}|a + 2|} = \frac{|3a^2 + 6a - 2a - 1 + 6a + 12|}{\sqrt{10}|a + 2|} = \frac{|3a^2 + 10a + 11|}{\sqrt{10}|a + 2|}$

* Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách, ta có thể sử dụng đạo hàm hoặc các phương pháp khác để tìm cực trị của hàm số $f(a) = \frac{|3a^2 + 10a + 11|}{|a + 2|}$. Tuy nhiên, việc này khá phức tạp.
Một cách tiếp cận khác là tìm điểm $M$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ song song với đường thẳng $d$.

* Bước 4: Tìm điểm $M$ bằng phương pháp tiếp tuyến song song.
Đạo hàm của hàm số $y = \frac{2x + 1}{x + 2}$ là $y' = \frac{2(x + 2) - (2x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}$.
Để tiếp tuyến tại $M$ song song với $d$, ta cần $y'(a) = 3$, tức là $\frac{3}{(a + 2)^2} = 3$.
Suy ra $(a + 2)^2 = 1$, vậy $a + 2 = 1$ hoặc $a + 2 = -1$.
* Nếu $a = -1$, thì $b = \frac{2(-1) + 1}{-1 + 2} = -1$.
* Nếu $a = -3$, thì $b = \frac{2(-3) + 1}{-3 + 2} = \frac{-5}{-1} = 5$.

* Bước 5: Tính khoảng cách cho cả hai điểm và chọn điểm có khoảng cách nhỏ nhất.
* Với $M(-1, -1)$, khoảng cách là $d(M, d) = \frac{|3(-1) - (-1) + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{|-3 + 1 + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}$.
* Với $M(-3, 5)$, khoảng cách là $d(M, d) = \frac{|3(-3) - 5 + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{|-9 - 5 + 6|}{\sqrt{10}} = \frac{8}{\sqrt{10}}$.
Vậy điểm $M(-1, -1)$ có khoảng cách nhỏ nhất.

* Bước 6: Tính giá trị của biểu thức $T = 6a^2 + 7b^2$.
$T = 6(-1)^2 + 7(-1)^2 = 6(1) + 7(1) = 6 + 7 = 13$.

Vậy $T = 13$.

Gọi $x_i$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i$, $n_i$ là tần số của nhóm thứ $i$, $N=400$ là tổng số học sinh.
Khoảng tứ phân vị là $Q_3 - Q_1 = \frac{845}{21}$
Ta có $x + 120 + y + 70 + 60 = 400 \Rightarrow x + y = 150$
$Q_1$: Vị trí $Q_1$ là $\frac{N}{4} = \frac{400}{4} = 100$. Suy ra $Q_1$ thuộc nhóm $[20;40)$. Gọi $Q_1 = 20 + \frac{100-x}{120} (40-20) = 20 + \frac{200-2x}{12}$
$Q_3$: Vị trí $Q_3$ là $\frac{3N}{4} = \frac{3*400}{4} = 300$.
$Q_3$ thuộc nhóm $[40;60)$ hoặc $[60;80)$.
Nếu $Q_3$ thuộc $[40;60)$ thì $x+120 < 300$ và $x+120+y \ge 300$. Suy ra $x < 180$ và $150+120 = 270 \ge 300$ (vô lý).
Vậy $Q_3$ thuộc $[60;80)$. Ta có $Q_3 = 60 + \frac{300 - (x+120+y)}{70} (80-60) = 60 + \frac{300 - 400+70}{70} * 20 = 60 + \frac{-30}{70}*20 = 60 - \frac{60}{7} = \frac{360}{7}$
$Q_3 - Q_1 = \frac{360}{7} - (20 + \frac{200-2x}{12}) = \frac{845}{21}$
$\frac{360}{7} - 20 - \frac{50}{3} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{1080 - 420 - 350}{21} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{310}{21} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{x}{6} = \frac{845-310}{21} = \frac{535}{21}$
$x = \frac{535 * 6}{21} = \frac{535 * 2}{7} = \frac{1070}{7}$ (không là số nguyên).
Xem lại vị trí $Q_1$ thuộc $[0;20)$, suy ra $Q_1 = 0 + \frac{100}{x} (20-0) = \frac{2000}{x}$
$\frac{360}{7} - \frac{2000}{x} = \frac{845}{21}$
$\frac{2000}{x} = \frac{360}{7} - \frac{845}{21} = \frac{1080 - 845}{21} = \frac{235}{21}$
$x = \frac{2000 * 21}{235} = \frac{400 * 21}{47} = \frac{8400}{47}$ (không là số nguyên).
$Q_3 = 60 + \frac{300-(x+120+y)}{70} * 20 = 60 + \frac{300 - (400-70-60)}{70} * 20 = 60 + \frac{30}{70} * 20 = 60 + \frac{60}{7}$
Nếu $Q_3$ rơi vào $[80;100)$ thì $Q_3 = 80 + \frac{300-(x+120+y+70)}{60} * 20 = 80 + \frac{300-(230)}{60} * 20 = 80 + \frac{70}{60}*20 = 80 + \frac{70}{3} = \frac{310}{3}$
$\frac{310}{3} - (20 + \frac{200-2x}{12}) = \frac{845}{21}$
$\frac{310}{3} - 20 - \frac{50}{3} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{250}{3} - 20 + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{250-60}{3} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{190}{3} + \frac{x}{6} = \frac{845}{21}$
$\frac{x}{6} = \frac{845 - 1330}{21} = \frac{-485}{21}$
(Vô lý)
Giả sử $Q_1$ thuộc $[0;20)$. Ta có $Q_1 = 0 + \frac{100}{x} * 20 = \frac{2000}{x}$
Nếu $Q_3$ thuộc $[60;80)$. Ta có $Q_3 = 60 + \frac{300-(x+120+y)}{70} * 20 = 60 + \frac{300-280}{70} * 20 = 60 + \frac{20}{70} * 20 = 60 + \frac{40}{7} = \frac{460}{7}$
$\frac{460}{7} - \frac{2000}{x} = \frac{845}{21}$
$\frac{2000}{x} = \frac{1380 - 845}{21} = \frac{535}{21}$
x = $\frac{2000*21}{535} = \frac{400*21}{107} = \frac{8400}{107}$ (không nguyên)
Nếu $Q_3$ thuộc $[80;100)$. Ta có $Q_3 = 80 + \frac{300 - (x+120+y+70)}{60} * 20 = 80 + \frac{300 - 350}{60} * 20 = 80 - \frac{50}{3} = \frac{190}{3}$
$\frac{190}{3} - \frac{2000}{x} = \frac{845}{21}$
$\frac{2000}{x} = \frac{1330 - 845}{21} = \frac{485}{21}$
x = $\frac{2000 * 21}{485} = \frac{400 * 21}{97} = \frac{8400}{97}$ (không nguyên)
Thử $Q_1$ thuộc $[20;40)$. Khi đó $Q_1 = 20 + \frac{100-x}{120} * 20$. $Q_3$ thuộc $[40;60)$. Vậy $Q_3 = 40 + \frac{300-(x+120)}{y} * 20$.
Không khả thi
Giá trị trung bình: $\bar{x} = \frac{10x+30*120+50y+70*70+90*60}{400} = \frac{10x+3600+50y+4900+5400}{400} = \frac{10x+50y+13900}{400} = \frac{10x+50(150-x)+13900}{400} = \frac{-40x+21400}{400} = \frac{-2x+1070}{20}$
Do $x+y = 150$ và $x,y > 0$ nên $0