Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\,\bot \,\left( ABCD \right)\), biết \(SC=a\sqrt{3}\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(SD\), \(CD\), \(BC\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Từ đồ thị ta có hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;1 \right)\) suy ra mệnh đề đúng.

b) Từ đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right)\) suy ra hàm số có \({f}'\left( x \right)>0\) \(\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)\). Vậy mệnh đề đúng.

c) Ta có \({g}'\left( x \right)={{\left[ f\left( x \right)+1 \right]}^{\prime }}={f}'\left( x \right)\).

Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến khi \({g}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x\in \left( -1;1 \right)\) suy ra mệnh đề sai.

d) Từ đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) ta có đồ thị của hàm số \(y=f\left( \left| x \right| \right)\) như hình vẽ.

Từ đồ thị ta có hàm số \(y=f\left( \left| x \right| \right)\) đồng biến trên \(\left( -1;0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right)\)

Suy ra mệnh đề đúng.

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 cuốn sách trong thùng gồm 16 cuốn sách.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right)=C_{16}^{3}=560\).

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)3 cuốn sách lấy ra không cùng một loại\(''\). Để tìm số phần tử của \(A\), ta đi tìm số phần tử của biến cố \(\overline{A}\), với biến cố \(\overline{A}\) là 3 cuốn sách lấy ra cùng một loại.

Suy ra số phần tử của biến cố \(\overline{A}\) là \(n\left( \overline{A} \right)=C_{5}^{3}+C_{7}^{3}+C_{4}^{3}=49\).

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right)=n\left( \Omega  \right)-n\left( \overline{A} \right)=511\).

Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{511}{560}=\frac{73}{80}\approx 0,91\).

Không gian mẫu là số cách sắp xếp \(5\) hành khách lên \(3\) toa tàu.

Vì mỗi hành khách có \(3\) cách chọn toa nên có \({{3}^{5}}\) cách xếp.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right)={{3}^{5}}=243\).

Gọi \(A\) là biến cố ''\(5\) hành khách bước lên tàu mà mỗi toa có ít nhất \(1\) hành khách''.

Để tìm số phần tử của biến cố \(A\) ta đi tìm số phần tử của biến cố \(\overline{A}\), tức có toa không có hành khách nào bước lên tàu, có \(2\) khả năng sau:

- Trường hợp 1: Có \(2\) toa không có hành khách bước lên.

+) Chọn \(2\) trong \(3\) toa để không có khách bước lên, có \(C_{3}^{2}\) cách.

+) Sau đó cả \(5\) hành khách lên toa còn lại, có \(1\) cách.

Do đó trường hợp này có \(C_{3}^{2}.1=3\) cách.

- Trường hợp 2: Có \(1\) toa không có hành khách bước lên.

+) Chọn \(1\) trong \(3\) toa để không có khách bước lên, có \(C_{3}^{1}\) cách.

+) Hai toa còn lại ta cần xếp \(5\) hành khách lên và mỗi toa có ít nhất \(1\) hành khách, có \({{2}^{5}}-C_{2}^{1}.1=30\).

Do đó trường hợp này có \(C_{3}^{1}.30=90\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(\overline{A}\) là \(n\left( \overline{A} \right)=3+90=93\).

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là:

\(n\left( A \right)=n\left( \Omega  \right)-n\left( \overline{A} \right)=243-93=150\).

Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{150}{243}=\frac{50}{81}\approx 0,62\).

Ta có: \(v\left( t \right)=s'\left( t \right)={{t}^{2}}-3t+10\).

Khi vận tốc của vật đạt \(20\,m/s\) ta có:

\({{t}^{2}}-3t+10=20\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t-10=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=5 \\  & t=-2 \\ \end{align} \right.\).

Vì \(t>0\) nên nhận \(t=5\left( s \right)\).

Lúc đó quảng đường vật đi được là: \(s\left( 5 \right)-s\left( 0 \right)=\frac{337}{6}-2\approx 54,2m\).

Gọi \(H\), \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(C\), \(D\) lên đáy hố là mặt phẳng \(\left( AKHB \right)\).

Khi đó \(BD\) có hình chiếu lên đáy là \(KB\), suy ra

\(\left( BD,\left( AKHB \right) \right)=\left( BD,BK \right)=\widehat{DBK}\).

Với độ sâu hố là \(DK=CH=2\)(m), ta có:

\(AK=\sqrt{A{{D}^{2}}-D{{K}^{2}}}=\frac{\sqrt{33}}{2}\).

\(KB=\sqrt{A{{K}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{\sqrt{37}}{2}\).

\(\tan DBK=\frac{DK}{KB}=\frac{4\sqrt{37}}{37}\Rightarrow \widehat{DBK}\approx 33{}^\circ \).