Câu hỏi:

Kẻ \(AH\bot BC\) (1)

Gọi \(O\) là tâm của tam giác ABC.

Suy ra \(SO\bot (ABC)\) (theo tính chất của hình chóp đều).

\(\Rightarrow SO\bot BC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(BC\bot (SHA)\).

\(\Rightarrow [S,BC,A]=\widehat{SHO}\).

Vì tam giác ABC đều nên ta có: \(AH=\sqrt{3}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   OH=\frac{\sqrt{3}}{3}  \\   AO=\frac{2\sqrt{3}}{3}  \\\end{array} \right.\).

Suy ra,

\(SO=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{69}}{3}\).

\(\Rightarrow \tan \alpha =\tan \widehat{SHO}=\frac{SO}{OH}\)\(=\frac{\sqrt{69}/3}{\sqrt{3}/3}=\sqrt{23}\approx 4,8\).

Gọi \({{A}_{1}}\) là biến cố lấy được một hộp đựng bóng đèn màu vàng.

Suy ra \(P\left( {{A}_{1}} \right)=\frac{1}{1+9}=\frac{1}{10}\).

Gọi \({{A}_{2}}\) là biến cố lấy được một hộp đựng bóng đèn màu xanh.

Suy ra \(P\left( {{A}_{2}} \right)=\frac{9}{1+9}=\frac{9}{10}\).

Gọi \(B\) là biến cố lấy được hai bóng đèn hỏng ở cùng 1 hộp.

Ta có xác suất lấy được 2 bóng đèn hỏng từ một hộp đựng bóng đèn vàng là:

\(P\left( B\mid {{A}_{1}} \right)=\frac{C_{2}^{2}}{C_{12}^{2}}\).

(vì trong mỗi hộp đựng bóng đèn vàng có 2 bóng bị hỏng).

Tương tự, vì trong mỗi hộp đựng bóng đèn màu xanh có 3 bóng bị hỏng nên xác suất lấy được 2 bóng đèn hỏng từ một hộp đựng bóng đèn xanh là:

\(P\left( B\mid {{A}_{2}} \right)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{12}^{2}}\).

Ta có sơ đồ cây sau:

Ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \text{P}(~\text{B}) & =\text{P}\left( ~{{\text{A}}_{1}} \right)\cdot \text{P}\left( ~\text{B }\!\!|\!\!\text{ }{{\text{A}}_{1}} \right)+\text{P}\left( ~{{\text{A}}_{2}} \right)\cdot \text{P}\left( ~\text{B }\!\!|\!\!\text{ }{{\text{A}}_{2}} \right)  \\   {} & =\frac{1}{10}\cdot \frac{\text{C}_{2}^{2}}{\text{C}_{12}^{2}}+\frac{9}{10}\cdot \frac{\text{C}_{3}^{2}}{\text{C}_{12}^{2}}=\frac{7}{165}.  \\\end{array}\)

Suy ra, \(P\left( {{A}_{2}}\mid B \right)=\frac{P\left( {{A}_{2}} \right)\cdot P\left( B\mid {{A}_{2}} \right)}{P(B)}\)\(=\frac{\frac{9}{10}\cdot \frac{C_{3}^{2}}{C_{12}^{2}}}{\frac{7}{165}}=\frac{27}{28}\approx 0,96\).

Số cách Mạnh đến công ty là: 15 cách.

Minh họa:

Ta kí hiệu các điểm như hình vẽ.

Ta có khối tròn xoay đó được tạo thành khi quay hình phẳng QAMBN quanh trục \((Ox)\).

Mà \({{S}_{OQAM}}={{S}_{ONBM}}\) nên thể tích của khối tròn xoay đó sẽ bằng 2 lần thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng ONBM quanh trục \((Ox)\).

Suy ra ta có thể tích: \(V=2\left( \pi \int_{0}^{2}{M}{{B}^{2}}dx-\pi \int_{1}^{2}{N}{{B}^{2}}dx \right)\).

+) Viết phương trình đường thẳng MB: \(M(0;1),B(2;2)\).

Có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{MB}=(2;1)\) suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(-1;2)\).

Suy ra,

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & MB:-1(x-0)+2(y-1) & =0  \\   \Leftrightarrow  & MB:-x+2y-2 & =0  \\   \Rightarrow  & y=\frac{1}{2}x+1. & {}  \\\end{array}\)

+) Tương tự, ta viết được phương trình đường thẳng NB là

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {} & -2\cdot (x-1)+1\cdot (y-0) & =0  \\   \Leftrightarrow  & -2x+y+2 & =0  \\   \Rightarrow  & y=2x-2. & {}  \\\end{array}\)

Vậy suy ra,

\(V=2\left( \pi \int_{0}^{2}{{{\left( \frac{1}{2}x+1 \right)}^{2}}}dx-\pi \int_{1}^{2}{{{(2x-2)}^{2}}}dx \right)\)\(=\frac{20}{3}\pi \approx 20,9\).

Giả sử lực tác dụng lên 3 đoạn dây CD, GF, AE lần lượt là: \(\overrightarrow{{{T}_{1}}},\overrightarrow{{{T}_{2}}},\overrightarrow{{{T}_{3}}}.\)

Suy ra hợp lực \(\vec{T}=\overrightarrow{{{T}_{1}}}+\overrightarrow{{{T}_{2}}}+\overrightarrow{{{T}_{3}}}\) \((*)\).

(Áp dụng công thức: Cho 2 vectơ \(\vec{u},\vec{v}\) cùng hướng, ta có: \(\vec{u}=\frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|}\cdot \vec{v}\)).

Vì \(\overrightarrow{{{T}_{1}}}\) và \(\overrightarrow{CD}\) cùng hướng nên ta suy ra, \(\overrightarrow{{{T}_{1}}}=\frac{{{T}_{1}}}{|\overrightarrow{CD}|}\cdot \overrightarrow{CD}\).

Tương tự, ta sẽ thấy:

+) \(\overrightarrow{{{T}_{2}}},\overrightarrow{GF}\) cùng hướng\(\Rightarrow \overrightarrow{{{T}_{2}}}=\frac{{{T}_{2}}}{|\overrightarrow{GF}|}\cdot \overrightarrow{GF}\).

+) \(\overrightarrow{{{T}_{3}}},\overrightarrow{AE}\) cùng hướng\(\Rightarrow \overrightarrow{{{T}_{3}}}=\frac{{{T}_{3}}}{|\overrightarrow{AE}|}\cdot \overrightarrow{AE}\).

\(\Rightarrow \vec{T}=\frac{{{T}_{1}}}{|\overrightarrow{CD}|}\cdot \overrightarrow{CD}+\frac{{{T}_{2}}}{|\overrightarrow{GF}|}\cdot \overrightarrow{GF}+\frac{{{T}_{3}}}{|\overrightarrow{AE}|}\cdot \overrightarrow{AE}\).

 Ta có: \(C(-1,5;0;4,5)\), \(D(0;3;0)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{CD}=(1,5;3;-4,5)\).

\(\Rightarrow |\overrightarrow{CD}|=1,5\sqrt{14}\).

 Ta có: \(G(0;-1;3),F(2;-1;0)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{GF}=(2;0;-3)\).

\(\Rightarrow |\overrightarrow{GF}|=\sqrt{13}\).

 Ta có: \(A(0;0;3),E(-1,5;0;0)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{AE}=(-1,5;0;-3)\).

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AE}|=1,5\sqrt{5}\).

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \Rightarrow \overrightarrow{\text{T}} & =\frac{1200}{1,5\sqrt{14}}(1,5;3;-4,5)+\frac{800}{\sqrt{13}}\cdot (2;0;-3)+\frac{600}{1,5\sqrt{5}}\cdot (-1,5;0;-3).  \\   {} & =(496,145;641,427;-2164,437).  \\\end{array}\)

Suy ra độ lớn của vectơ hợp lực là:

\(|\vec{T}|=\sqrt{496,{{145}^{2}}+641,{{427}^{2}}+{{(-2164,437)}^{2}}}\approx 2311\).