Câu hỏi:

a) Sai.

Hàm số \(f\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+2x-6}{x+1}\) xác định khi \(x+1\ne 0\Leftrightarrow x\ne -1\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\).

b) Đúng.

\({f}'\left( x \right)=\frac{{{\left( -{{x}^{2}}+2x-6 \right)}^{\prime }}\left( x+1 \right)-\left( -{{x}^{2}}+2x-6 \right){{\left( x+1 \right)}^{\prime }}}{x+1}=\frac{-{{x}^{2}}-2x+8}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\)

c) Sai.

\({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{-{{x}^{2}}-2x+8}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-2x+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=2 \\  & x=-4 \\ \end{align} \right.\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) có giá trị cực đại bằng \(-2\).

d) Sai.

Trên \(\left[ -4;2 \right]\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

a) Sai.

+ Phần \(S{}_{1}\): phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+3\), \(g\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x+1\) và các đường thẳng \(x=-1\), \(x=1\).

+ Phần \({{S}_{2}}\): phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+3\), \(g\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x+1\) và các đường thẳng \(x=1\), \(x=2\).

Do đó: \(S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)}\,\text{d}x\)\(+\int\limits_{1}^{2}{\left( -{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x-2 \right)\text{d}x}\).

Vậy \(S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)}\,\text{d}x\)\(+\int\limits_{1}^{2}{\left( -{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x-2 \right)\text{d}x}\).

b) Đúng.

\({{S}_{1}}=\int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}\,\text{d}x\)\(=\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right)}\,\text{d}x=\frac{8}{3}\).

\({{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{2}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]}\,\text{d}x\)\(=\int\limits_{1}^{2}{\left( -{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x-2 \right)}\,\text{d}x=\frac{5}{12}\).

Do đó: \({{S}_{1}}=\frac{32}{5}{{S}_{2}}\).

c) Đúng.

\(S=\int\limits_{0}^{2}{\left[ g\left( x \right) \right]}\,\text{d}x=\int\limits_{0}^{2}{\left( -{{x}^{2}}+2x+1 \right)dx=\frac{10}{3}}\).

d) Đúng.

 Gọi \({{V}_{1}},{{V}_{2}}\) lần lượt là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(\left( E \right)\) quanh trục \(Ox\) với các đường thẳng \(x=-1;x=1\) và \(x=2\).

+) \({{V}_{1}}=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right]}dx=\frac{160}{21}\);

+) \({{V}_{2}}=\pi \int\limits_{1}^{2}{\left[ {{g}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( x \right) \right]}dx=\frac{25}{21}\).

Vậy \(V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{185}{21}\).

Xét các biến cố: \(A\): "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc";

\(B\): "Chọn được học sinh sinh biết chơi đàn guitar”.

a) Sai.

\(\text{P}\left( A \right)=\frac{200}{1000}=0,2\Rightarrow \text{P}\left( \overline{A} \right)=0,8\).

b) Đúng.

\(\text{P}\left( B\mid A \right)=0,85;\text{P}\left( B\mid \overline{A\,} \right)=0,1\).

Xác suất cần tìm là \(\text{P}\left( AB \right)\) ta có theo công thức nhân xác suất:

\(\text{P}\left( AB \right)=\text{P}\left( BA \right)=\text{P}\left( A \right).\text{P}\left( B\mid A \right)=0,2.0,85=0,17\).

c) Đúng.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \text{P}\left( B \right) & =\text{P}\left( A \right)\cdot \text{P}\left( B|A \right)+\text{P}\left( \overline{A} \right)\cdot \text{P}\left( B|\overline{A} \right)  \\   {} & =0,2\cdot 0,85+0,8\cdot 0,1=0,25.  \\\end{array}\)

d) Sai.

Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, biết học sinh đó chơi được đàn guitar, là:

\(\text{P}\left( A\mid B \right)=\frac{\text{P}\left( A \right)\cdot \text{P}\left( B\mid A \right)}{\text{P}\left( B \right)}=\frac{0,2\cdot 0,85}{0,25}=0,68\).

a) Đúng.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm \(A\left( -688\,;\,-185\,;\,8 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 91\,;\,75\,;\,0 \right)\) là:

\(\left\{ \begin{align}  & x=-688+91t \\  & y=-185+75t \\  & z=8 \\ \end{align} \right.\) (t là tham số).

b) Đúng.

Gọi \(H\) là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Khi đó, khoảng cách \(OH\) phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(OH\bot d\).

Vì \(H\in d\) nên \(H\left( -688+91t;\,-185+75t;\,8 \right)\).

Ta có \(\overrightarrow{OH}=\left( -688+91t;\,-185+75t;\,8 \right)\).

\(OH\bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{u}=0\).

\(\Leftrightarrow \left( -688+91t \right).91+\left( -185+75t \right).75+8.0=0\).

\(\Leftrightarrow 13906t-76483=0\)\(\Leftrightarrow t=\frac{11}{2}\).

Do đó \(H\left( -\frac{375}{2};\,\frac{455}{2};\,8 \right)\).

c) Sai.

Lưu ý rằng, \(M\) bay từ \(A\) hướng về ATC khi và chỉ khi \(t\) lớn dần từ \(0\).

Gọi \(B\) là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

Vì \(B\in d\) nên \(B\left( -688+91t\,;\,-185+75t\,;\,8 \right)\).

\(B\) là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa khi \(OB=417\).

\(\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( -688+91t \right)}^{2}}+{{\left( -185+75t \right)}^{2}}+{{8}^{2}}}=417\).

\(\Leftrightarrow 13906{{t}^{2}}-152966t+333744=0\).

\(\Leftrightarrow t=3\) hoặc \(t=8\) (loại \(t=8\()

Với \(t=3\), ta có \(B\left( -415;\,40;\,8 \right)\).

d) Sai.

Vị trí đầu tiên và cuối cùng của \(M\) trên màn hình ra đa là:

\(B\left( -415;\,40;\,8 \right)\) và \(C\left( 40;\,415;\,8 \right)\).

Do đó thời gian xuất hiện trên màn hình ra đa là:

\(\frac{BC}{800}=\frac{\sqrt{{{\left( 40+415 \right)}^{2}}+{{\left( 415-40 \right)}^{2}}+{{\left( 8-8 \right)}^{2}}}}{800}\approx 0,74\) (giờ).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên \(\left( ABC \right)\).

Ta có: \(SH=d\left[ S,(ABC) \right]=\frac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=6\,a\).

Ta có: \(\sin \left( SC,(SBC) \right)=\sin \widehat{SCA}=\frac{SH}{SC}=\frac{1}{2}\).

Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và\(\left( ABC \right)\) bằng \({{30}^{o}}\).